Folgen und Reihen im Komplexen

Analog zu reellen Folgen definieren wir eine komplexe Zahlenfolge als Abbildung φ:N→C\phi:\N\to\C. Ganz allgemein können viele Sätze aus der Theorie der reellen Zahlenfolgen auf komplexe Zahlenfolgen übertragen werden.

Definition Konvergenz

Sei (zn)(z_n) eine Folge in C\C und w∈Cw \in \C. (zn)(z_n) konvergiert gegen ww
:⇔    ∣zn−w∣→0 :\Leftrightarrow\;\; |z_n-w| \to 0 für n→∞ n \to \infty
Schreibweise:
lim⁡n→∞zn=w \lim_{n\to\infty}z_n = w oder zn→w z_n \to w   (n→∞) \;(n\to\infty)
(zn)(z_n) konvergiert :⇔   ∃w∈C :\Leftrightarrow\;\ \exists w \in \C mit zn→w  (n→∞) z_n \to w \; (n \to \infty)

Satz 16K2 (Eigenschaften komplexer Konvergenz)

  1. lim⁡zn=z  ⇔  lim⁡ℜzn=ℜz\lim z_n=z\;\Leftrightarrow\; \lim\Re z_n =\Re z und lim⁡ℑzn=ℑz \lim \Im z_n=\Im z
    Eine komplexe Zahlenfolge konvergiert also genau dann, wenn die reellen Folgen bestehend aus Realteil und Imaginärteil konvergieren.
  2. lim⁡zn=z  ⇔  lim⁡zn‾=zn‾\lim z_n=z\;\Leftrightarrow\; \lim \overline{z_n}=\overline{z_n}

Beweis

(i) Dies folgt aus max⁡{∣ℜz∣,∣ℑz∣}≤∣z∣≤2max⁡{∣ℜz∣,∣ℑz∣}\max\{|\Re z|,|\Im z|\}\leq |z|\leq 2\max\{|\Re z|,|\Im z|\} (Satz 5228E).
(ii) Wegen ∣zn−z∣=∣zn−z‾∣=∣zn‾−z‾∣|z_n-z|=|\overlineI{z_n-z}|=|\overline{z_n}-\overline{z}|. □\qed

Satz 16R9 (Cauchykriterium im Komplexen)

Sei (zn)(z_n) eine Folge in C\C. Dann gilt:
(zn) (z_n) konvergiert ⇔\Leftrightarrow ∀ε>0  ∃n0(ε)∈N  ∀n,m≥n0∣zn−zm∣<ϵ \forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0(\varepsilon) \in \N \; \forall n,m \geq n_0 \quad |z_n-z_m| < \epsilon .

Beweis

"⇒\Rightarrow": Der Beweis der entsprechenden Behauptung für reelle Zahlenfolgen (Satz 5225B) kann einfach übertragen werden. Da die komplexen Zahlen mit dem Betrag einen metrischen Raum bilden, können wir auch einfach Satz 5608F anwenden.
"⇐\Leftarrow": Sei (zn)(z_n) eine Cauchy-Folge in C\C. Wegen Satz 5228E gilt: max⁡{∣ℜzn−ℜzm∣,∣ℑzn−ℑzm∣} \max \left\{ |\Re z_n - \Re z_m|, |\Im z_n - \Im z_m| \right\} ≤∣zn−zm∣ \leq |z_n - z_m| ≤∣ℜzn−ℜzm∣+∣ℑzn−ℑzm∣ \leq |\Re z_n - \Re z_m| + |\Im z_n-\Im z_m| Also sind (ℜzn)(\Re z_n) und (ℑzn)(\Im z_n) Cauchy-Folgen in R\R. Somit existieren u,v∈Ru,v \in \R mit ℜzn→u\Re z_n \to u und ℑzn→v\Im z_n \to v. Nach Satz 16K2 gilt dann: zn→u+ivz_n \to u + iv. □\qed

Folgerung 16K3 (Komplexe Zahlen als vollständiger metrischer Raum)

(C,∣⋅∣)(\C,|\cdot |) ist ein vollständiger metrischer Raum.
 
 

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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