Folgen und Reihen im Komplexen

Analog zu reellen Folgen definieren wir eine komplexe Zahlenfolge als Abbildung \(\displaystyle \phi:\N\to\C\). Ganz allgemein können viele Sätze aus der Theorie der reellen Zahlenfolgen auf komplexe Zahlenfolgen übertragen werden.

Definition Konvergenz

Sei \(\displaystyle (z_n)\) eine Folge in \(\displaystyle \C\) und \(\displaystyle w \in \C\).\(\displaystyle (z_n)\) konvergiert gegen \(\displaystyle w\)
\(\displaystyle :\Leftrightarrow\;\; |z_n-w| \to 0 \) für \(\displaystyle n \to \infty \)
Schreibweise:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n = w \) oder \(\displaystyle z_n \to w \) \(\displaystyle \;(n\to\infty) \)
\(\displaystyle (z_n)\) konvergiert \(\displaystyle :\Leftrightarrow\;\ \exists w \in \C \) mit \(\displaystyle z_n \to w \; (n \to \infty) \)
 
 

Satz 16K2 (Eigenschaften komplexer Konvergenz)

  1. \(\displaystyle \lim z_n=z\;\Leftrightarrow\; \lim\Re z_n =\Re z \) und \(\displaystyle \lim \Im z_n=\Im z\)
    Eine komplexe Zahlenfolge konvergiert also genau dann, wenn die reellen Folgen bestehend aus Realteil und Imaginärteil konvergieren.
  2. \(\displaystyle \lim z_n=z\;\Leftrightarrow\; \lim \overline{z_n}=\overline{z_n}\)

Beweis

(i) Dies folgt aus \(\displaystyle \max\{|\Re z|,|\Im z|\}\leq |z|\leq 2\max\{|\Re z|,|\Im z|\}\) (Satz 5228E).
(ii) Wegen \(\displaystyle |z_n-z|=|\overlineI{z_n-z}|=|\overline{z_n}-\overline{z}|\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 16R9 (Cauchykriterium im Komplexen)

Sei \(\displaystyle (z_n)\) eine Folge in \(\displaystyle \C\). Dann gilt:
\(\displaystyle (z_n)\) konvergiert \(\displaystyle \Leftrightarrow\) \(\displaystyle \forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0(\varepsilon) \in \N \; \forall n,m \geq n_0 \quad |z_n-z_m| < \epsilon \).

Beweis

"\(\displaystyle \Rightarrow\)": Der Beweis der entsprechenden Behauptung für reelle Zahlenfolgen (Satz 5225B) kann einfach übertragen werden. Da die komplexen Zahlen mit dem Betrag einen metrischen Raum bilden, können wir auch einfach Satz 5608F anwenden.
"\(\displaystyle \Leftarrow\)": Sei \(\displaystyle (z_n)\) eine Cauchy-Folge in \(\displaystyle \C\). Wegen Satz 5228E gilt:\(\displaystyle \max \left\{ |\Re z_n - \Re z_m|, |\Im z_n - \Im z_m| \right\} \)\(\displaystyle \leq |z_n - z_m| \)\(\displaystyle \leq |\Re z_n - \Re z_m| + |\Im z_n-\Im z_m| \)Also sind \(\displaystyle (\Re z_n)\) und \(\displaystyle (\Im z_n)\) Cauchy-Folgen in \(\displaystyle \R\). Somit existieren \(\displaystyle u,v \in \R\) mit \(\displaystyle \Re z_n \to u\) und \(\displaystyle \Im z_n \to v\).Nach Satz 16K2 gilt dann: \(\displaystyle z_n \to u + iv\). \(\displaystyle \qed\)

Folgerung 16K3 (Komplexe Zahlen als vollständiger metrischer Raum)

\(\displaystyle (\C,|\cdot |)\) ist ein vollständiger metrischer Raum.

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе