Cauchysches Konvergenzkriterium

Falls der Grenzwert einer Folge nicht bekannt ist, ist die Entscheidung ihrer Konvergenz mit der Definition nicht ohne weiteres möglich. Dann hilft folgendes Kriterium weiter:

Satz 5225B (Cauchysches Konvergenzkriterium)

Eine Folge ana_n konvergiert genau dann, wenn für es jedes ϵ>0\epsilon>0 ein n0∈Nn_0\in \dom N gibt, so dass für alle m,n≥n0m,n\geq n_0 gilt: ∣an−am∣<ϵ|a_n-a_m|<\epsilon. Formal:
∀ϵ>0∃n0∈N∀m,n≥n0:∣am−an∣<ϵ\forall \epsilon>0 \exists n_0\in \dom N \forall m,n\geq n_0 : |a_m-a_n|<\epsilon.(1)
Folgen mit der Eigenschaft (1) heißen Cauchyfolgen. Eine Folge konvergiert also genau dann, wenn mit zunehmenden nn der Abstand zwischen beliebigen Folgengliedern immer kleiner wird.

Beweis

"⇒\Rightarrow": Sei ana_n konvergent und der Grenzwert aa. Dann finden wir für ϵ>0\epsilon>0 ein n0n_0 mit ∣an−a∣<ϵ2|a_n-a|<\dfrac \epsilon 2 für n>n0n>n_0 und ∣am−a∣<ϵ2|a_m-a|<\dfrac \epsilon 2 für m>m0m>m_0. Also gilt ∣an−am∣=∣an−a+a−am∣|a_n-a_m|=|a_n-a+a-a_m| ≤∣an−a∣+∣a−am∣\leq |a_n-a|+|a-a_m| =∣an−a∣+∣am−a∣<ϵ2+ϵ2=ϵ=|a_n-a|+|a_m-a|<\dfrac \epsilon 2+\dfrac \epsilon 2=\epsilon
"⇐\Leftarrow": Sei (an)(a_n) eine vorgegebene Cauchy-Folge. Wir zeigen zunächst (an)(a_n) ist beschränkt. Zu ε:=1\varepsilon:=1 existiert ein n0∈Nn_0\in\N mit ∀n,m≥n0∣an−am∣<1\forall n,m\geq n_0\quad |a_n-a_m|<1 ⇒∀n≥n0:∣an∣ \Rightarrow\forall n\geq n_0:\quad |a_n|\,= ∣(an−an0)+an0∣=\,|(a_n-a_{n_0})+a_{n_0}| ≤ ∣an−an0∣+∣an0∣ ≤ 1+∣an0∣\,\leq\,|a_n-a_{n_0}|+|a_{n_0}| \,\leq\, 1+|a_{n_0}| ⇒∀n∈N:∣an∣≤max⁡{∣a1∣,∣a2∣,…,∣an0∣,1+∣an0∣}\Rightarrow\forall n\in\N:\quad |a_n|\leq\max\left\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{n_0}|,1+|a_{n_0}|\right\} Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 12UH) hat (an)(a_n) also einen Häufungspunkt, d.h. es existiert eine konvergente Teilfolge (ank)(a_{n_k}). Sei a:=lim⁡n→∞anka:=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n_k}; wir zeigen, dass auch a=lim⁡n→∞ana=\lim\limits_{n\to\infty} a_n gilt. Sei ε>0\varepsilon>0 gegeben. Dann existiert (da (an)(a_n) eine Cauchyfolge ist) ein n0∈Nn_0\in\N mit
∀n,m≥n0∣an−am∣<ε2\forall n,m\geq n_0\quad |a_n-a_m|<\dfrac{\varepsilon}{2}
Da ank→aa_{n_k}\to a existiert k0∈Nk_0\in\N mit nk0≥n0n_{k_0}\geq n_0 und
∀k≥k0∣ank−a∣<ε2\forall k\geq k_0\quad |a_{n_k}-a|<\dfrac{\varepsilon}{2}
⇒    ∀n≥n0∣an−a∣=∣(an−ank0)+(ank0−a)∣  \Rightarrow\;\; \forall n\geq n_0\quad |a_n-a| = \left|(a_n-a_{n_{k_0}})+(a_{n_{k_0}}-a)\right| \;≤  ∣an−ank0∣+∣ank0−a∣  <  ε\leq\; \left|a_n-a_{n_{k_0}}\right| + \left|a_{n_{k_0}}-a\right| \; <\; \varepsilon . □\qed

Beispiel

(an)(a_n) sei rekursiv definiert durch:
a0:=1a_0:=1; an+1:=11+ana_{n+1}:=\dfrac{1}{1+a_n}
Es gilt: ∀n∈Nan>0,  an<1\forall n\in\N\quad a_n>0,\; a_n<1; die Folge ist also beschränkt. Wir zeigen per Induktion, dass sogar an≥12 a_n\geq \dfrac{1}{2}\, . Induktionsanfang klar, da a0=1≥12a_0=1\ge \dfrac 1 2. an≤1a_n\leq 1   ⟹  an+1≤2\implies a_n+1\leq 2   ⟹  an+1=11+an≥12\implies a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n}\geq \dfrac{1}{2} ⇒    ∀n∈Nan≥12\Rightarrow\;\;\forall n\in\N\quad a_n\geq \dfrac{1}{2}.
Daher: ∀n,k∈N,n≥2∣an+k−an∣=∣11+an+k−1−11+an−1∣\forall n,k\in\N, n\geq 2\quad |a_{n+k}-a_n| =\left|\dfrac{1}{1+a_{n+k-1}}-\dfrac{1}{1+a_{n-1}}\right| =∣an+k−1−an−1∣(1+an+k−1)(1+an−1) =\dfrac{|a_{n+k-1}-a_{n-1}|}{(1+a_{n+k-1})(1+a_{n-1})} ≤∣an+k−1−an−1∣(1+12)(1+12)\le\dfrac{|a_{n+k-1}-a_{n-1}|}{\left(1+\dfrac 12\right)\left(1+\dfrac 12\right)} ≤49⋅∣an+k−1−an−1∣   \leq \dfrac{4}{9}\cdot |a_{n+k-1}-a_{n-1}| \;≤  …  ≤  (49)n−1∣an+k−(n−1)−an−(n−1)∣\leq\; \ldots\;\leq\; \left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1} \left|a_{n+k-(n-1)}-a_{n-(n-1)}\right| ≤(49)n−1(∣ak+1∣+∣a1∣)  ≤  2(49)n−1 \leq \left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1} \left(|a_{k+1}|+|a_1|\right) \;\leq\; 2\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1} ⇒    ∀n,k∈N∣an+k−an∣  ≤  2⋅(49)n−1\Rightarrow\;\;\forall n,k\in\N\quad |a_{n+k}-a_n|\;\leq\; 2\cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1} Sei ε>0\varepsilon>0 wähle n0∈Nn_0\in\N mit 2⋅(49)n0−1<ε2\cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n_0-1}<\varepsilon. Seien n,m≥n0n,m\geq n_0. o.B.d.A. sei m>nm>n. Setze k:=m−nk:=m-n. ⇒∣am−an∣  \Rightarrow\quad |a_m-a_n|\; =  ∣an+k−an∣  ≤  2⋅(49)n−1  =\; \left|a_{n+k}-a_n\right|\;\leq\; 2\cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}\;≤  2⋅(49)n0−1  <  ε\leq\; 2\cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n_0-1} \; <\; \varepsilon ⇒  (an)\Rightarrow\; (a_n) ist Cauchy-Folge. ⇒  (an)\Rightarrow\; (a_n) ist konvergent. Sei a:=lim⁡n→∞ana:=\lim\limits_{n\to\infty} a_n. Wegen an+1=11+ana_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n} und an→aa_n\to a und an+1→aa_{n+1}\to a gilt:
a=11+aa=\dfrac{1}{1+a}
⇒a2+a−1=0⇒a  =  −12±14+1  =  −12±52\Rightarrow\quad a^2+a-1=0\quad\Rightarrow\quad a\;=\; -\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+1} \;=\; -\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2} Wegen an≥12a_n\geq\dfrac{1}{2} gilt auch a≥12a\geq \dfrac{1}{2}. Also
a=12(5−1)a=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Zahlenfolgen