Konvergenz und Grenzwert von Zahlenfolgen

Eine Zahl \(\displaystyle a\) heißt genau dann Grenzwert einer Zahlenfolge \(\displaystyle a_n\), wenn es für jedes \(\displaystyle \epsilon>0\) ein \(\displaystyle n_0\in \dom N\) gibt, so dass \(\displaystyle |a_n-a|<\epsilon\) für alle \(\displaystyle n\geq n_0\). Man schreibt dann auch
\(\displaystyle a=\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\)
oder kürzer
\(\displaystyle a_n\rightarrow a\).
Das Symbol \(\displaystyle \lim\) kommt aus dem Lateinischen von Limes. In formaler Schreibweise lautet die Definition:
\(\displaystyle a=\lim a_n \iff \forall \epsilon>0 \, \exists n_0\in \dom N \, \forall n\geq n_0: |a_n-a|<\epsilon\)
Die Definition sagt nichts anderes aus, als dass in jeder \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um den Grenzwert fast alle Glieder der Folge liegen, also alle bis auf endlich viele Ausnahmen.
Das \(\displaystyle n\rightarrow\infty\) unter dem Limessymbol kann auch weggelassen werden, da für Folgen klar ist, das \(\displaystyle n\) gegen unendlich strebt.
Wenn eine Folge einen Grenzwert besitzt, heißt sie konvergent, ansonsten divergent.
 
 

Beispiele

Konstante Folge

Die Folge \(\displaystyle a_n=c\) heißt konstante Folge. Sie ist für jede reelle Zahl \(\displaystyle c\) konvergent und es gilt \(\displaystyle a_c\to c\). In jeder \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um \(\displaystyle c\) liegen alle Folgenglieder. Die Folge \(\displaystyle a_n=\dfrac 1 n\) konvergiert gegen \(\displaystyle 0\). Wenn \(\displaystyle \epsilon>0\) vorgegeben ist, wählen wir \(\displaystyle n_\epsilon>\dfrac 1 \epsilon\) und es gilt: \(\displaystyle |a_n|=\dfrac 1 n< \dfrac 1 {n_\epsilon}<\epsilon\). Folgen mit Grenzwert \(\displaystyle 0\) heißen Nullfolgen.
Die Folge \(\displaystyle a_n=n\) ist nicht konvergent. Sie wächst über alle Maßen und ist bestimmt divergent.

Beispiel 16LW

Die Folge \(\displaystyle a_n=(-1)^n \) ist divergent. Zwar liegen in jeder \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung von 1 bzw. -1. unendlich viele Folgenglieder; beide Werte sind damit Häufungspunkte der Folge. Keiner von beiden ist Grenzwert, da außerhalb der \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung nicht nur endlich viele Folgenglieder liegen.
Eine Folge kann mehrere Häufungspunkte haben, im Extremfall sogar unendlich viele (vgl. Beispiel 16BB). Damit stellt sich die Frage, ob eine Zahlenfolge auch mehrere Grenzwerte besitzen kann. Es zeigt sich, dass der Grenzwert immer eindeutig bestimmt ist.

Satz 5224B (Eindeutigkeit des Grenzwerts)

Wenn eine Zahlenfolge konvergiert, so ist ihr Grenzwert eindeutig bestimmt. Eine Zahlenfolge kann also nicht gegen zwei verschiedene Grenzwerte konvergieren.

Beweis

Seien \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) mit \(\displaystyle a\neq b\) zwei Grenzwerte der Zahlenfolge \(\displaystyle (a_n)\). Wir wählen \(\displaystyle \epsilon=\dfrac {|a-b|} 3\). Dann gilt \(\displaystyle U_\epsilon(a)\cap U_\epsilon(b)=\emptyset\). Da \(\displaystyle a\) Grenzwert der Folge ist, liegen ab einem gewissen \(\displaystyle N\) alle Folgenglieder in \(\displaystyle U_\epsilon(a)\), damit können aber in \(\displaystyle U_\epsilon(b)\) nur endlich viele Folgenglieder liegen, im Widerspruch dazu, dass auch \(\displaystyle b\) Grenzwert sein sollte. \(\displaystyle \qed\)

Satz 5729G (Beschränktheit konvergenter Folgen)

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis

Sei \(\displaystyle a\) der Grenzwert der Folge, dann liegen innerhalb einer beliebigen \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um \(\displaystyle a\) fast alle Folgenglieder und außerhalb nur endlich viele. Nach Satz 5223B ist diese Menge endlich vieler Folgenglieder beschränkt, genauso wie die \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung. Also ist die Folge beschränkt. \(\displaystyle \qed\)

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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