Konvergenz und Häufungspunkte

Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, ihren Grenzwert. Also gilt auch: Jeder Grenzwert einer Zahlenfolge ist Häufungspunkt.

Da nach Satz 5729G eine konvergente Folge beschränkt ist, muss sie nach Satz 5729E wenigstens einen Häufungspunkt besitzen. Um zu zeigen, dass ein beliebiger Häufungspunkt der Folge mit ihrem Grenzwert zusammenfällt, benutzt man eine analoge Schlussweise wie im Beweis zu Satz 5224B. $\qed$

Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und nur einen Häufungspunkt besitzt; dieser ist der Grenzwert der Folge.

"$\Rightarrow$": klar, wegen Satz 5729G und Satz 5729H.

"$\Leftarrow$": Sei die Folge $(a_n)$ beschränkt und habe einen Häufungspunkt $a$. Wenn $a$ kein Grenzwert der Folge wäre, gäbe es ein $\epsilon>0$, so dass unendlich viele Folgenglieder außerhalb von $U_\epsilon(a)$ liegen. Diese Folgenglieder könnte man zu einer neuen Teilfolge $(b_n)$ zusammenfassen, die auch wieder beschränkt ist. Sie muss nach Satz 5729E einen Häufungspunkt $b$ haben, der gleichzeitig Häufungspunkt der Folge $(a_n)$ ist, aber nicht mit $a$ identisch sein kann, da kein $b_n$ in $U_\epsilon(a)$ liegt. Widerspruch! $\qed$