Endlichkeit von Mengen

Eine Menge MM heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl nn gibt, so dass MM gleichmächtig zur Menge An={0,1,…,n−1}A_n=\{0,1,\ldots,n-1\} ={m∣ m∈N∧m<n}=\{ m| \, m\in \dom N \and m<n\} ist. Alle anderen Mengen heißen unendlich.
Anschaulich bedeutet Endlichkeit nichts anderes, als dass die Menge mit den Zahlen 0,…,n−10,\ldots,n-1 durchnumeriert werden kann (was gleichbedeutend ist, dass sie mit den Zahlen 1,…,n1,\ldots,n durchnummeriert werden kann).
Die Zahl nn mit der An∼MA_n\sim M gilt wird auch Kardinalzahl genannt und es wird card⁡M=n\card M =n für An∼MA_n\sim M geschrieben.
Die leere Menge ist damit eine endliche Menge, für sie gilt nämlich: ∅∼A0\emptyset\sim A_0 und damit card⁡∅=0\card\emptyset=0.
 
 

Satz 5305B (Eigenschaften endlicher Mengen)

Seien AA und BB zwei endliche Mengen und CC eine beliebige Menge, dann gilt:
  1. Jede Teilmenge von AA ist endlich
  2. A∪BA\cup B ist endlich card⁡(A∪B)≤card⁡A+card⁡B\card (A\cup B)\leq \card A+\card B
  3. A∩CA\cap C ist endlich card⁡(A∩C)≤min⁡(card⁡A,card⁡C)\card (A\cap C)\leq \min (\card A,\card C)
  4. card⁡(A∪B)=card⁡A+card⁡B\card (A\cup B)=\card A+\card B   ⟺  A∩B=∅\iff A\cap B=\emptyset
  5. A∖CA\setminus C ist endlich
  6. card⁡(P(A))=2card⁡A\card(\Pow(A))=2^{\card A}
Man könnte nun annehmen, dass es nur eine Art der Unendlichkeit gibt. Leider ist dem nicht so. Denn es gilt der:

Satz 5305A (Ungleichmächtigkeit der Potenzmenge)

Keine Menge ist mit ihrer Potenzmenge gleichmächtig. Für keine Menge AA gilt also A∼P(A)A\sim \Pow(A).
Insbesondere muss die Unendlichkeit der Potenzmenge einer unendlichen Menge eine andere Art von Unendlichkeit sein.

Beweis

Sei f:A→P(A)f: A\rightarrow \Pow(A) eine beliebige injektive Abbildung. Wir zeigen, dass ff nicht surjektiv ist. Wir betrachten die folgende Menge X:={a∣a∈A∧a∉f(a)}X:=\{a| a\in A \and a\notin f(a)\}. Jetzt zeigen wir, dass XX kein Urbild besitzen kann. Nehmen wir an es gibt ein x∈Ax\in A mit f(x)=Xf(x)=X. Dann gilt x∈f(x)  ⟺  x∈X  ⟺  x∉f(x)x\in f(x) \iff x\in X \iff x\notin f(x), was ein Widerspruch ist. □\qed

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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