Surjektion, Surjektivität

Surjektiv.png
Surjektion: Alle Elemente aus \(\displaystyle B\) kommen als Bilder vor
Wenn bei einer Abbildung \(\displaystyle f: A\rightarrow B\) die Bildmenge mit \(\displaystyle B\) zusammenfällt also \(\displaystyle W_f = B\) gilt, so heißt \(\displaystyle f\) surjektiv oder Aufabbildung. Jedes Element aus \(\displaystyle B\) kommt als Element wenigstens eines Elementes aus \(\displaystyle A\) vor.
\(\displaystyle f\) surjektiv \(\displaystyle \iff \forall y\in B\quad \exists x\in A : f(x) =y\)
Die Grafik verdeutlicht das Wesen der Surjektivität: Alle Werte aus \(\displaystyle B\) werden als Funktionswerte angenommen, was dadurch symbolisiert wird, dass sie von einem Pfeil erreicht werden.
 
 

Beispiele

Die lineare Funktion \(\displaystyle f_1(x)=x\) ist surjektiv auf \(\displaystyle \domR\).
Die quadratische Funktion \(\displaystyle f_2(x)=x^2\) ist nicht surjektiv auf \(\displaystyle \R\), denn negative Zahlen werden nicht als Funktionswerte angenommen. Schränkt man den Wertebereich auf das Intervall \(\displaystyle [0,\infty[\) ein, so ist die Funktion auf diesem Intervall surjektiv.
Allgemein kann man aus einer beliebigen Funktion \(\displaystyle f\) eine surjektive Funktion machen, wenn man ihren Wertebereich auf die tatsächlich angenommen Werte einschränkt.

Eigenschaften

Die Surjektivität einer Funktion \(\displaystyle f\colon\, A \to B\) hängt nicht nur vom Funktionsgraphen \(\displaystyle \{(x,f(x)) \mid x \in A\},\) sondern auch von der Zielmenge \(\displaystyle B\) abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, welche man am Funktionsgraphen ablesen kann).
Eine Funktion \(\displaystyle f\colon\, A \to B\) ist genau dann surjektiv, wenn \(\displaystyle f\big(f^{-1}(Y) \big)=Y\) für alle \(\displaystyle Y \subset B \).
Sind die Funktionen \(\displaystyle f\colon\, A \to B\) und \(\displaystyle g\colon\, B \to C\) surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) \(\displaystyle g \circ f\colon\, A \to C.\)
Aus der Surjektivität von \(\displaystyle g \circ f\) folgt, dass \(\displaystyle g\) surjektiv ist.
Eine Funktion \(\displaystyle f\colon\, A \to B\) ist genau dann surjektiv, wenn \(\displaystyle f\) eine Rechtsinverse hat, also eine Funktion \(\displaystyle g\colon\, B \to A\) mit \(\displaystyle f \circ g = \operatorname{id}_B\) (wobei \(\displaystyle \operatorname{id}_B\) die identische Abbildung auf \(\displaystyle B\) bezeichnet).
Eine Funktion \(\displaystyle f : A \to B\) ist genau dann surjektiv, wenn \(\displaystyle f\) rechtskürzbar ist, also für beliebige Funktionen \(\displaystyle g, h : B \to C\) mit \(\displaystyle g \circ f = h \circ f\) schon \(\displaystyle g = h\) folgt.
Jede beliebige Funktion \(\displaystyle f\colon\, A \to B\) ist darstellbar als Verkettung \(\displaystyle f = h \circ g\), wobei \(\displaystyle g\) surjektiv und \(\displaystyle h\) injektiv ist. \(\displaystyle g\colon\, A \to \operatorname{im} f\) hat dabei die Bildmenge von \(\displaystyle f\) als Zielmenge und stimmt ansonsten mit \(\displaystyle f\) überein.

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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