Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist ein Polynom vom Grad 1.
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Zwei lineare Funktionen (Geraden)
Lineare Funktionen werden in der Form
\(\displaystyle y=f(x)=mx+n\)
für \(\displaystyle m,n\in \dom R\), \(\displaystyle m\neq 0\) geschrieben. Der Wert \(\displaystyle m\) heißt Anstieg der Funktion.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Für \(\displaystyle m>0\) ist die Funktion monoton wachsend und für \(\displaystyle m<0\) monoton fallend.
Die \(\displaystyle y\)-Achse wird an der Stelle \(\displaystyle y_0=n\) geschnitten.
Einzige Nullstelle ist \(\displaystyle x_0=-\dfrac { n}{m}\).
 
 

Geradengleichung durch zwei Punkte

Sind zwei Punkte \(\displaystyle (x_1,y_1)\) und \(\displaystyle (x_2;y_2)\) gegeben mit \(\displaystyle x_1!=x_2\), so beschreiben diese eindeutig eine lineare Funktion.Zum Bestimmen der Parameter \(\displaystyle m\) und \(\displaystyle n\) müssen wir das lineare Gleichungssystem
\(\displaystyle y_1=mx_1+n\)
\(\displaystyle y_2=mx_2+n\)
lösen. Es ergeben sich \(\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) und \(\displaystyle n=y_1-\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot x_1\) \(\displaystyle =\dfrac{y_1x_2-y_2x_1}{x_2-x_1}\).

Beispiel

Gesucht ist die Geradengleichung für die lineare Funktion durch \(\displaystyle P_1=(1;1)\) und \(\displaystyle P_2=(3;5)\). Das Gleichungssystem lautet:
\(\displaystyle 1=1\cdot m+n\)
\(\displaystyle 5=3\cdot m+n\)
\(\displaystyle \implies 2m=4\) \(\displaystyle \implies m=2\). Einsetzen ergibt \(\displaystyle 1=2+n\) \(\displaystyle \implies n=\me\). (Für den Graphen siehe obige [!Abbildung].)

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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