Geradengleichungen

Gerade_im_KS.PNG
Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Abbildung zeigt eine Gerade g\bm{g} durch zwei gegebene Punkte P\bm{P} und Q\bm Q in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte lässt sich in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade konstruieren.

Funktionen

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen haben im allgemeinen die Gleichung
g: x=cg: \, x = c
Für die y-Achse gilt demnach die Gleichung
g: x=0g: \, x = 0
da für alle Punkte auf der y-Achse der x-Wert Null ist.

Koordinatenform

Gerade_Koordinatenform.PNG
Die Koordinatenform folgt immer dem Schema:
g: y=m⋅x+ng: \, y = m\cdot x + n
m\bm{m} ist die Steigung der Geraden,
n\bm{n} ist der Achsenabschnitt auf der y-Achse, also die Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse relativ zum Ursprung des Koordinatensystems (für n = 0 ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung, eine Ursprungsgerade).
x\bm{x} und y\bm{y} sind Platzhalter für die Koordinatenwerte aller Punkte, die die Geradengleichung erfüllen und somit auf dem Graphen der Gerade liegen.
Ein Punkt P\bm{P} mit der x-Koordinate x\bm{x} hat eine y-Koordinate, die sich aus n\bm{n} und m · x zusammensetzt. Die Steigung m\bm{m} ist die senkrechte Kathete des (blau gefärbten) Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete 1\bm{1} ist. Wird diese auf das x-fache vergrößert (gelbes Dreieck), so vergrößert sich auch die senkrechte Kathete auf das x-fache (Strahlensatz), also m · x. Zusammen mit dem Achsenabschnitt n\bm{n} folgt für die y-Koordinate:
y=m⋅x+ny = m\cdot x + n,
im Beispiel:
g: y=12⋅x+2g: \, y = \dfrac{1}{2} \cdot x + 2,
siehe: lineare Funktionen

Zweipunkteform

Gerade_Zweipunkteform.PNG
Die Steigung m\bm{m} der Geraden kann mit Hilfe des Differenzenquotienten folgendermaßen errechnet werden:
m=ΔyΔx=y2−y1x2−x1m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
Nach dem Strahlensatz gilt für einen beliebigen anderen Punkt P(x|y) zugleich
m=ΔyΔx=y−y1x−x1m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y - y_1}{x - x_1},
also
g: y2−y1x2−x1=y−y1x−x1g: \, \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} =\dfrac{y - y_1}{x - x_1}.
Im Beispiel wird
3−12−(−2)=24=0,5=y−1x−(−2)\dfrac{3 - 1}{2 - (-2)}=\dfrac{2}{4} = 0{,}5 = \dfrac{y - 1}{x - (-2)},
g: y−1x+2=0,5g: \, \dfrac{y - 1}{x + 2} = 0{,}5.

Polarform

g: r=x⋅cos⁡(φ)+y⋅sin⁡(φ)g: \, r = x \cdot \cos(\phi) + y \cdot \sin(\phi)
dabei ist rr die Länge des Lotes von der Geraden zum Ursprung und φ\phi der Winkel zwischen der x-Achse und dem Lot.

Geometrische Formen

In der analytischen Geometrie gibt es noch weitere Formen der Geradengleichung, die auch Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, darstellen können.

Parameterform (Punktrichtungsform)

Gerade_Parameterform.PNG
Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben.
g: r=r0+λ⋅ug: \, \vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u
r0\vec r_0 ist der Ortsvektor eines fixen Punktes (z.B. P0P_{0}),
u\vec u ist der Richtungsvektor,
λ\lambda ist ein Skalar und gibt an, wie lange in diese Richtung gezählt wird.
Das Beispiel würde dann so aussehen:
g: r=(−21)+λ⋅(31,5)g: \, \vec r=\chooseNT{-2 }{ 1} + \lambda \cdot \chooseNT{3 }{ 1,5}
λ\lambda bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, d.h. die Gerade wird (mit dem Nullpunkt bei P0P_{0}) mit den Werten von λ\lambda beziffert (im Bild grün gekennzeichnet).

Normalform

Gerade_Normalform.PNG
Mit einem Normalenvektor n\vec n, der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalform (in anderer Notation: Normalenform) schreiben:
r⋅n−c=0\vec r \cdot \vec n - c = 0.
oder
r⋅n=c\vec r \cdot \vec n = c.
Darin ist c eine Konstante und ⋅\cdot das Skalarprodukt. Diese Darstellung beruht auf der Eigenschaft des Skalarproduktes, nach dem
a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos⁡(α)\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha) mit α=∠(a,b)\alpha = \angle ( \vec a , \vec b ).
ist. Nun setzt sich der Ortsvektor r\vec r eines beliebigen Punktes P(x|y) stets aus dem Vektor rpp\vec r_p \bm{p}arallel zur Geraden und dem Vektor rss\vec r_s \bm{s}enkrecht zu der Geraden durch Vektoraddition zusammen:
r=rs+rp\vec r = \vec r_s + \vec r_p.
Aus den Eigenschaften der Kosinusfunktion ergibt sich, dass stets
rp⋅n=∣rp∣⋅∣n∣⋅cos⁡(90∘)=0\vec r_p \cdot \vec n = |\vec r_p| \cdot |\vec n| \cdot \cos (90^\circ) = 0
und
rs⋅n=∣rs∣⋅∣n∣⋅cos⁡(0∘)=∣rs∣⋅∣n∣=c\vec r_s \cdot \vec n = |\vec r_s| \cdot |\vec n| \cdot \cos (0^\circ) = |\vec r_s| \cdot |\vec n| = c
ist. Da rs\vec r_s für alle Punkte der Geraden gleich ist, ist dieses Produkt konstant. Somit ist
r⋅n=(rs+rp)⋅n=rs⋅n+rp⋅n=c+0=c\vec r \cdot \vec n = ( \vec r_s + \vec r_p ) \cdot \vec n = \vec r_s \cdot \vec n + \vec r_p \cdot \vec n = c + 0 = c.
Wenn (v1v2)\chooseNT{v_1 }{ v_2} der Richtungsverktor einer zweidimensionalen Geraden ist, so ist jedes Vielfache von (−v2v1)\chooseNT{-v_2 }{ v_1} ein Normalenvektor. Im Beispiel ist
n=(−12)\vec n = \chooseNT{-1 }{ 2}
c ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf der Geraden liegt, z.B. mit dem Punkt P(4|4):
c=n⋅r=(−12)⋅(44)=−4+8=4c = \vec n \cdot \vec r = \chooseNT{-1 }{ 2} \cdot \chooseNT{4 }{ 4} = -4 + 8 = 4.
(Jeder andere Punkt der Geraden führt zum gleichen Ergebnis!) Folglich lautet die Normalform der Geraden:
g: r⋅(−12)=4g: \, \vec r \cdot \chooseNT{-1 }{ 2} = 4.

Hessesche Normalform

Die Hessesche Normalform leitet sich aus der Normalform ab. Offenbar ist der Betrag von rs\vec r_s identisch mit dem Abstand d\bm{d} der Geraden vom Ursprung. Aus
rs⋅n=∣rs∣⋅∣n∣⋅cos⁡(0∘)=∣rs∣⋅∣n∣=c\vec r_s \cdot \vec n = |\vec r_s| \cdot |\vec n| \cdot \cos (0^\circ) = |\vec r_s| \cdot |\vec n| = c
folgt
rs⋅n=c=∣rs∣∣n∣\vec r_s \cdot \vec n = c = | \vec r_s | |\vec n| .
Division durch ∣n∣| \vec n | ergibt folglich
c∣n∣=∣rs∣=d\dfrac {c}{|\vec n|} = |\vec r_s| = d.
Daher ist
g: r⋅n∣n∣=dg: \, \vec r \cdot \dfrac{\vec n}{| \vec n |} = d.
Im Beispiel ist ∣n∣=(−1)2+22=5| \vec n | = \sqrt {(-1)^2 + 2^2} = \sqrt {5}, also
g: r⋅(−12)5=45g: \, \vec r \cdot \dfrac{\chooseNT{-1 }{ 2}}{\sqrt {5}} = \dfrac {4}{\sqrt{5}},
und der Ursprungsabstand der Geraden ist d=45≈1,79d = \dfrac {4}{\sqrt{5}} \approx 1{,}79 .
 
 

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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