Geraden

Punktrichtungsgleichung

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Analog zu beliebigen euklidischen Vektorräumen definieren wir für einen Ortvektor \(\displaystyle p\) und einen Richtungsvektor \(\displaystyle a\neq 0\) eine Gerade durch \(\displaystyle p\) mit der Richtung \(\displaystyle a\) als
\(\displaystyle \gerade(p,a):=\{p+\alpha a| \alpha\in\dom R\}\)
Für jeden Punkt \(\displaystyle q\in g(p,a)\) gilt mit dieser Definition, dass es ein \(\displaystyle \alpha \in\dom R\) gibt, so dass \(\displaystyle q=p+\alpha a\) gilt. Diese Art der Geradengleichung heißt Punktrichtungsgleichung bzw. Parameterform.
 
 

Zweipunktegleichung

Zwei Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) bzw. ihre Ortsvektoren \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) mit \(\displaystyle a \neq b\) definieren eine Gerade, deren Punktrichtungsgleichung durch
\(\displaystyle \gerade(a,b-a):= a + \alpha( b - a)\)
gegeben ist
Diese Gleichung lässt sich zu
\(\displaystyle \gerade(A,B):=(1-\alpha)a + \alpha b \)
- der Zweipunktegleichung - umformen.
Für \(\displaystyle \alpha\in [0,1]\) beschreibt die Gleichung genau die Punkte der Strecke \(\displaystyle \overline {AB}\). Speziell für \(\displaystyle \alpha=0\) wird der Punkt \(\displaystyle A\) angenommen und für \(\displaystyle \alpha=1\) der Punkt \(\displaystyle B\).

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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