Ebenen

Parameterform

EbenePara.PNG
Ebenen werden von einem Punkt \(\displaystyle p\) und zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) erzeugt. Dies so bestimmte Ebene wird mit \(\displaystyle \ebene(p,a,b)\) bezeichnet und ist durch
\(\displaystyle \ebene(p,a,b):=\{x\in\R^3| x=p+\alpha a+\beta b \and \alpha,\beta\in\dom R\}\),
also
\(\displaystyle x\in \ebene(p,a,b)\, \iff \, x=p+\alpha a+\beta b\)
definiert. Gleichung heißt die Parameterform der Ebene.
Es gilt \(\displaystyle p\in\ebene(p,a,b)\), da die Gleichung für \(\displaystyle \alpha=\beta=0\) trivial erfüllt wird.
 
 

Normalform

Für ein \(\displaystyle x\in\ebene(p,a,b)\) gilt \(\displaystyle x=p+\alpha a+\beta b\) für geeignete \(\displaystyle \alpha\) und \(\displaystyle \beta\) Multiplizieren wir die Gleichung skalar mit \(\displaystyle a\cross b\) erhalten wir: \(\displaystyle \spo x,a\cross b\spc=\spo p,a\cross b\spc+\spo \alpha a,a\cross b\spc+\spo \beta b,a\cross b\spc\) Unter Benutzung der Folgerungen aus Satz 5325A vereinfacht sich die Beziehung zu
\(\displaystyle \spo x,a\cross b\spc=\spo p,a\cross b\spc\).
EbeneNorm.PNG
Ebene mit Normalenvektor, hier \(\displaystyle a\)
Damit haben wir eine weitere Möglichkeit gefunden, eine Ebene zu definieren. Diese heißt Normalform, und beschreibt die Ebene über einen senkrecht zu ihr stehenden Vektor:
\(\displaystyle \hebene(c,\gamma):=\{x\in\dom{R^3}| \spo c,x\spc=\gamma\}\),
mit dem Normalenvektor \(\displaystyle c=a\cross b\) und \(\displaystyle \gamma=\spo p,a\cross b\spc\) .
Berechnet man mit Formel 939A den Abstand des Nullvektors zur Ebene, so erhält man \(\displaystyle d(\bold 0,\hebene(c,\gamma))=\dfrac{|\gamma|}{||c||}\). Ist der Normalenvektor normiert (\(\displaystyle ||c||=1\)), so ist \(\displaystyle |\gamma|\) genau der Abstand der Ebene vom Nullpunkt.

Beispiel

Sei eine Ebene durch den Ortsvektor \(\displaystyle p=(1| 1| 1)\) und die beiden Richtungsvektoren \(\displaystyle a=(1| 1| 0)\) und \(\displaystyle b=(0| {\uminus 1} |1)\) gegeben. Um die Normalform der Ebene zu berechnen, ermitteln wir \(\displaystyle c=a\cross b=(1| {\uminus 1}| {\uminus 1})\) und \(\displaystyle \spo p,a\cross b\spc=-1\) und erhalten die Gleichung
\(\displaystyle \spo x, c\spc=\spo x, (1 |{\uminus 1}| {-1})\spc=-1\)
Um aus der Normalform auf die Parameterform zu schließen braucht man einen Punkt \(\displaystyle p\) der Ebene, diesen findet man mit \(\displaystyle p=(\uminus 1|0|0)\) relativ einfach. Für den ersten Richtungsvektor setzt man z.B.\(\displaystyle a=(1|0|1)\) einen weiteren findet man mit \(\displaystyle b=c\cross a= (\uminus 1|\uminus 2|1)\). Obwohl sich die so entstehende Parametergleichung von der Ausgangsgleichung nicht unwesentlich unterscheidet, beschreiben beide Gleichungen jedoch die gleiche Ebene.

Umwandlung Normalform in Parameterform

Sei die Ebene \(\displaystyle \hebene(c,\gamma)\) in Normalform gegeben, wir suchen die Parameterform \(\displaystyle \ebene(p,a,b)\, \). Für den Vektor \(\displaystyle p=\dfrac\gamma {||c||^2}\cdot c\) gilt \(\displaystyle \spo p,c\spc=\left\langle\dfrac\gamma {||c||^2}\cdot c,c\right\rangle\) \(\displaystyle =\dfrac\gamma {||c||^2}\langle c,c\rangle=\gamma\), er liegt also auf \(\displaystyle \hebene(c,\gamma)\).
Wenn \(\displaystyle c=(c_x|c_y|c_z)\), so wählen wir \(\displaystyle a:=(c_y-c_z|c_z-c_x|c_x-c_y)\), damit gilt \(\displaystyle \langle a,c\rangle =c_xc_y-c_xc_z+c_yc_z-c_yc_x+c_zc_x-c_zc_y=0\). Für \(\displaystyle b\) wählen wir \(\displaystyle b:=c\cross a\), und wegen der Folgerung aus Satz 5325A gilt \(\displaystyle \langle b,c\rangle=0\).
Also \(\displaystyle \langle p+\alpha a+\beta b,c\rangle =\underbrace{\langle p,c\rangle }_{=\gamma}+\alpha\underbrace{\langle a,c\rangle }_{=0} +\beta\underbrace{\langle b,c\rangle }_{=0}=\gamma\), womit alle Punkte aus \(\displaystyle \ebene(p,a,b)\, \) auch zu \(\displaystyle \hebene(c,\gamma)\) gehören.

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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