Ebenen

Parameterform

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Ebenen werden von einem Punkt pp und zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren aa und bb erzeugt. Dies so bestimmte Ebene wird mit eb(p,a,b)\ebene(p,a,b) bezeichnet und ist durch
eb(p,a,b):={x∈R3∣x=p+αa+βb∧α,β∈R}\ebene(p,a,b):=\{x\in\R^3| x=p+\alpha a+\beta b \and \alpha,\beta\in\dom R\},
also
x∈eb(p,a,b)   ⟺   x=p+αa+βbx\in \ebene(p,a,b)\, \iff \, x=p+\alpha a+\beta b
definiert. Gleichung heißt die Parameterform der Ebene.
Es gilt p∈eb(p,a,b)p\in\ebene(p,a,b), da die Gleichung für α=β=0\alpha=\beta=0 trivial erfüllt wird.
 
 

Normalform

Für ein x∈eb(p,a,b)x\in\ebene(p,a,b) gilt x=p+αa+βbx=p+\alpha a+\beta b für geeignete α\alpha und β\beta Multiplizieren wir die Gleichung skalar mit a×ba\cross b erhalten wir: ⟨x,a×b⟩=⟨p,a×b⟩+⟨αa,a×b⟩+⟨βb,a×b⟩\spo x,a\cross b\spc=\spo p,a\cross b\spc+\spo \alpha a,a\cross b\spc+\spo \beta b,a\cross b\spc Unter Benutzung der Folgerungen aus Satz 5325A vereinfacht sich die Beziehung zu
⟨x,a×b⟩=⟨p,a×b⟩\spo x,a\cross b\spc=\spo p,a\cross b\spc.
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Ebene mit Normalenvektor, hier aa
Damit haben wir eine weitere Möglichkeit gefunden, eine Ebene zu definieren. Diese heißt Normalform, und beschreibt die Ebene über einen senkrecht zu ihr stehenden Vektor:
heb(c,γ):={x∈R3∣⟨c,x⟩=γ}\hebene(c,\gamma):=\{x\in\dom{R^3}| \spo c,x\spc=\gamma\},
mit dem Normalenvektor c=a×bc=a\cross b und γ=⟨p,a×b⟩\gamma=\spo p,a\cross b\spc .
Berechnet man mit Formel 939A den Abstand des Nullvektors zur Ebene, so erhält man d(0,heb(c,γ))=∣γ∣∣∣c∣∣d(\bold 0,\hebene(c,\gamma))=\dfrac{|\gamma|}{||c||}. Ist der Normalenvektor normiert (∣∣c∣∣=1||c||=1), so ist ∣γ∣|\gamma| genau der Abstand der Ebene vom Nullpunkt.

Beispiel

Sei eine Ebene durch den Ortsvektor p=(1∣1∣1)p=(1| 1| 1) und die beiden Richtungsvektoren a=(1∣1∣0)a=(1| 1| 0) und b=(0∣−1∣1)b=(0| {\uminus 1} |1) gegeben. Um die Normalform der Ebene zu berechnen, ermitteln wir c=a×b=(1∣−1∣−1)c=a\cross b=(1| {\uminus 1}| {\uminus 1}) und ⟨p,a×b⟩=−1\spo p,a\cross b\spc=-1 und erhalten die Gleichung
⟨x,c⟩=⟨x,(1∣−1∣−1)⟩=−1\spo x, c\spc=\spo x, (1 |{\uminus 1}| {-1})\spc=-1
Um aus der Normalform auf die Parameterform zu schließen braucht man einen Punkt pp der Ebene, diesen findet man mit p=(−1∣0∣0)p=(\uminus 1|0|0) relativ einfach. Für den ersten Richtungsvektor setzt man z.B.a=(1∣0∣1)a=(1|0|1) einen weiteren findet man mit b=c×a=(−1∣−2∣1)b=c\cross a= (\uminus 1|\uminus 2|1). Obwohl sich die so entstehende Parametergleichung von der Ausgangsgleichung nicht unwesentlich unterscheidet, beschreiben beide Gleichungen jedoch die gleiche Ebene.

Umwandlung Normalform in Parameterform

Sei die Ebene heb(c,γ)\hebene(c,\gamma) in Normalform gegeben, wir suchen die Parameterform eb(p,a,b) \ebene(p,a,b)\, . Für den Vektor p=γ∣∣c∣∣2⋅cp=\dfrac\gamma {||c||^2}\cdot c gilt ⟨p,c⟩=⟨γ∣∣c∣∣2⋅c,c⟩\spo p,c\spc=\left\langle\dfrac\gamma {||c||^2}\cdot c,c\right\rangle =γ∣∣c∣∣2⟨c,c⟩=γ=\dfrac\gamma {||c||^2}\langle c,c\rangle=\gamma, er liegt also auf heb(c,γ)\hebene(c,\gamma).
Wenn c=(cx∣cy∣cz)c=(c_x|c_y|c_z), so wählen wir a:=(cy−cz∣cz−cx∣cx−cy)a:=(c_y-c_z|c_z-c_x|c_x-c_y), damit gilt ⟨a,c⟩=cxcy−cxcz+cycz−cycx+czcx−czcy=0\langle a,c\rangle =c_xc_y-c_xc_z+c_yc_z-c_yc_x+c_zc_x-c_zc_y=0. Für bb wählen wir b:=c×ab:=c\cross a, und wegen der Folgerung aus Satz 5325A gilt ⟨b,c⟩=0\langle b,c\rangle=0.
Also ⟨p+αa+βb,c⟩=⟨p,c⟩⎵=γ+α⟨a,c⟩⎵=0+β⟨b,c⟩⎵=0=γ\langle p+\alpha a+\beta b,c\rangle =\underbrace{\langle p,c\rangle }_{=\gamma}+\alpha\underbrace{\langle a,c\rangle }_{=0} +\beta\underbrace{\langle b,c\rangle }_{=0}=\gamma, womit alle Punkte aus eb(p,a,b) \ebene(p,a,b)\, auch zu heb(c,γ)\hebene(c,\gamma) gehören.

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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