Zwei Ebenen

EbenenSchnitt.PNG
Zwei nicht parallele Ebenen in Normalform heb(a,α)\hebene(a,\alpha) und heb(b,β)\hebene(b,\beta) und schneiden sich in einer Geraden der Form
gr(p,a×b)\gerade(p,a\cross b)
Dabei ist pp ein beliebiger Punkt aus dem Durchschnitt der Ebenen: pheb(a,α)heb(b,β)p\in \hebene(a,\alpha)\cap \hebene(b,\beta)\,
Dies ist folgendermaßen einzusehen: Der Richtungsvektor der Schnittgeraden muss in beiden Ebenen liegen, also senkrecht zum Normalenvektor beider Ebenen stehen; dafür gibt es aber nur eine Möglichkeit a×ba\cross b.
 
 

Beispiel

Seien a=(1,1,2)ta=(1,-1,2)^t und b=(1,0,2)tb=(-1,0,2)^t die Normalenvektoren der beiden Ebenen heb(a,2)\hebene(a,2) und heb(b,1)\hebene(b,1) gegeben.
Für die Schnittgerade bestimmen wir a×b=(2,4,1)ta\cross b=(-2,-4,-1)^t. Jetzt müssen wir nur noch einen gemeinsamen Punkt cc der beiden Ebenen finden. Für diesen muss gelten: sxsy+2sz=2s_x-s_y+2s_z=2 und sx+2sz=1-s_x+2s_z=1. Subtrahieren wir die beiden Gleichungen voneinander, erhalten wir: 2sxsy=12s_x-s_y=1. Diese Gleichung wäre für sx=sy=1s_x=s_y=1 erfüllt. Setzen wir dies in eine der Ursprungsgleichungen ein erhalten wir s=(1,1,1)ts=(1,1,1)^t als eine Lösung. Damit haben wir die Schnittgerade gr(s,a×b)\gerade(s,a\cross b) gefunden:
(111)+γ(241)\pmatrix{ 1\\ 1\\ 1}+\gamma \pmatrix{{-2}\\{-4}\\{-1}}

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Stephen Hawking

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