Zwei Ebenen

Zwei nicht parallele Ebenen in Normalform $\hebene(a,\alpha)$ und $\hebene(b,\beta)$ und schneiden sich in einer Geraden der Form

Dabei ist $p$ ein beliebiger Punkt aus dem Durchschnitt der Ebenen: $p\in \hebene(a,\alpha)\cap \hebene(b,\beta)\,$

Dies ist folgendermaßen einzusehen: Der Richtungsvektor der Schnittgeraden muss in beiden Ebenen liegen, also senkrecht zum Normalenvektor beider Ebenen stehen; dafür gibt es aber nur eine Möglichkeit $a\cross b$.

Seien $a=(1,-1,2)^t$ und $b=(-1,0,2)^t$ die Normalenvektoren der beiden Ebenen $\hebene(a,2)$ und $\hebene(b,1)$ gegeben.

Für die Schnittgerade bestimmen wir $a\cross b=(-2,-4,-1)^t$. Jetzt müssen wir nur noch einen gemeinsamen Punkt $c$ der beiden Ebenen finden. Für diesen muss gelten: $s_x-s_y+2s_z=2$ und $-s_x+2s_z=1$. Subtrahieren wir die beiden Gleichungen voneinander, erhalten wir: $2s_x-s_y=1$. Diese Gleichung wäre für $s_x=s_y=1$ erfüllt. Setzen wir dies in eine der Ursprungsgleichungen ein erhalten wir $s=(1,1,1)^t$ als eine Lösung. Damit haben wir die Schnittgerade $\gerade(s,a\cross b)$ gefunden: