Gerade und Ebene

Schnittpunkt in Parameterdarstellung

SchnittGeradeEbene.PNG
Seien eine Ebene eb(p,a,b)\ebene(p,a,b) und eine Gerade gr(q,c)\gerade(q,c) in Parameterdarstellung gegeben. Wenn die Gerade nicht zur Ebene parallel ist, dann gibt es einen Schnittpunkt ss. Um diesen auszurechnen, setzen wir
s=p+αa+βb=q+γcs=p+\alpha a+\beta b=q+\gamma c(1)
an. Wir wollen das γ\gamma bestimmen, für das diese Gleichung erfüllt ist. Dazu multiplizieren wir (1) skalar mit a×ba\cross b und erhalten:
⟨p,a×b⟩=⟨q+γc,a×b⟩\spo p,a\cross b\spc=\spo q+\gamma c,a\cross b\spc =⟨q,a×b⟩+γ⟨c,a×b⟩=\spo q,a\cross b\spc+\gamma\spo c,a\cross b\spc,(2)
was sich zu
⟨p−q,a×b⟩=γ⟨c,a×b⟩\spo p-q,a\cross b\spc=\gamma\spo c,a\cross b\spc,(3)
also
γ=⟨p−q,a×b⟩⟨c,a×b⟩\gamma=\dfrac {\spo p-q,a\cross b\spc}{\spo c,a\cross b\spc}(4)
vereinfacht.
Wenn wir mit dem so ermittelten γ\gamma wieder in die Geradengleichung (1) gehen, ergibt sich:

Formel 5405A (Schnittpunkt von Ebene in Parameterform und Gerade)

s=eb(p,a,b)∩gr(q,c)=q+⟨p−q,a×b⟩⟨c,a×b⟩ cs=\ebene(p,a,b)\cap\gerade(q,c)=q+\dfrac {\spo p-q,a\cross b\spc}{\spo c,a\cross b\spc}\, c
Wenn die Ebene in der Normalenform als heb(d,δ)\hebene(d,\delta) gegeben ist, so setzen wir d=a×bd=a\cross b und δ=⟨a×b,p⟩\delta=\spo a\cross b, p\spc. Formel 5404A ergibt sich dann als
s=q+δ−⟨q,d⟩⟨c,d⟩ cs=q+\dfrac {\delta - \spo q,d\spc}{\spo c,d\spc}\, c,(5)
und nach entsprechenden Umbenennungen erhalten wir

Formel 5415B (Schnittpunkt von Ebene in Normalform und Gerade)

s=heb(a,α)∩gr(p,b)=p+α−⟨p,a⟩⟨a,b⟩ bs=\hebene(a,\alpha)\cap\gerade(p,b)=p+\dfrac {\alpha - \spo p,a\spc}{\spo a,b\spc}\, b
 
 

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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