Vektorprodukt

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Wie die euklidische Ebene mit dem Orthokomplement eine Besonderheit hat, so hat auch der dreidimensionale euklidische Raum eine Besonderheit, die es in allgemeinen euklidischen Vektorräumen nicht gibt, das Vektorprodukt (andere Bezeichnung: äußeres Produkt oder Kreuzprodukt).
Für zwei Vektoren \(\displaystyle a=\pmatrix { {a_x}\\{a_y}\\{a_z}}\) und \(\displaystyle b=\pmatrix { {b_x}\\{b_y}\\{b_z}}\) definieren wir:
\(\displaystyle a\cross b=\pmatrix {{a_yb_z-a_zb_y}\\ {a_zb_x-a_xb_z}\\ {a_xb_y-a_yb_x}}\)
 
 

Satz 5325A (Eigenschaften des Vektorprodukts)

Für \(\displaystyle a,b,c\in\dom{R^3}\) und \(\displaystyle \alpha,\beta\in\dom R\) gilt:
  1. Distributivität des Vektorproduktes \(\displaystyle (\alpha a)\cross c=\alpha (a\cross c)\) und \(\displaystyle (a+b)\cross c=(a\cross c)+(b\cross c)\)
  2. Antikommutativität \(\displaystyle a\cross b=-(b\cross a)\)
  3. Identität von Grassmann: \(\displaystyle a\cross (b\cross c)=\spo a,c\spc b-\spo a,b\spc c\)
  4. Identität von Jacobi: \(\displaystyle a\cross (b\cross c)+b\cross (c\cross a)+c\cross (a\cross b)=0\)
  5. \(\displaystyle \spo a,b\cross c\spc=\spo a\cross b, c\spc\)

Beweis

Alle Behauptungen hat man durch Einsetzen der Definition schnell nachgerechnet.
Insbesondere kann man iv. aus iii. herleiten, indem man \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) und \(\displaystyle c\) zyklisch vertauscht. \(\displaystyle \qed\)

Folgerungen

Aus der Antikommutativität können wir
\(\displaystyle a\cross a=0\)
schließen.
Aus v. können wir durch Setzen von \(\displaystyle a=b\) sofort schließen, dass
\(\displaystyle \spo a,a\cross b\spc=\spo b,a\cross b\spc=0\)
gilt. Damit steht das Vektorprodukt zweier Vektoren immer senkrecht auf beiden Vektoren:
\(\displaystyle a\perp a\cross b\) und \(\displaystyle b\perp a\cross b\)

Satz 93AA

Es gilt die verschärfte Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
\(\displaystyle \spo a,b\spc^2+|a\cross b|^2=|a|^2|b|^2\).

Beweis

\(\displaystyle |a\cross b|^2=\spo a\cross b,a\cross b\spc\) \(\displaystyle =\spo a,b\cross (a\cross b)\spc \) Satz 5325A (v)\(\displaystyle =\spo a,\spo b,b\spc a-\spo b,a\spc b\spc\) Identität von Grassmann\(\displaystyle =\spo a,a\spc \spo b,b\spc -\spo a,b\spc^2\) \(\displaystyle =|a|^2|b|^2-\spo a,b\spc^2\) \(\displaystyle \qed\)

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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