Bilinearformen

Sei VV ein Vektorraum über den reellen Zahlen R\dom R. Eine Abbildung σ:V×V→R\sigma: V\cross V\rightarrow \dom R heißt eine Bilinearform, wenn folgende Eigenschaften gelten.
  1. σ(αa+βb,c)=α⋅σ(a,c)+β⋅σ(b,c)\sigma(\alpha a+\beta b, c)=\alpha\cdot\sigma(a,c)+\beta\cdot\sigma(b,c)
  2. σ(a,αb+βc)=α⋅σ(a,b)+β⋅σ(a,c)\sigma (a,\alpha b+\beta c)=\alpha\cdot\sigma(a,b)+\beta\cdot\sigma(a,c)
Das bedeutet, dass σ\sigma in beiden Argumenten linear ist, daher auch der Name Bilinearform.
Eine Bilinearform σ\sigma heißt symmetrisch, wenn σ(a,b)=σ(b,a)\sigma(a,b)=\sigma(b,a) für alle a,b∈Va,b\in V gilt.
Eine Bilinearform σ\sigma heißt positiv definit, wenn σ(a,a)>0\sigma(a,a)>0 für alle a≠0a\neq 0 gilt.
 
 

Satz 5310A (Eigenschaften positiv definiter symmetrischer Bilinearformen)

Sei VV ein Vektorraum über den reellen Zahlen R\dom R und σ\sigma eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann gilt für alle a∈Va\in V:
σ(a,a)=0  ⟺  a=0\sigma(a,a)=0\iff a=0
Für jede Bilinearform σ\sigma gilt sogar:
σ(a,0)=σ(0,a)=0\sigma(a,0)=\sigma(0,a)=0.

Beweis

σ(a,0)=σ(a,a−a)\sigma(a,0)=\sigma(a,a-a) =σ(a,a)−σ(a,a)=0=\sigma(a,a)-\sigma(a,a)=0; σ(0,a)\sigma(0,a) analog. Ist σ(a,a)=0\sigma(a,a)=0, so muss wegen der positiven Definitheit a=0a=0 gelten; andernfalls wäre ja σ(a,a)>0\sigma(a,a)>0. □\qed

Satz 5310C (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

Sei VV ein Vektorraum über den reellen Zahlen R\dom R und σ\sigma eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann gilt für alle a,b∈Va,b\in V:
[σ(a,b)]2≤σ(a,a)⋅σ(b,b)[{\sigma(a,b)}]^2\leq \sigma(a,a) \cdot \sigma(b,b)
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn aa und bb linear abhängig sind.

Beweis

Kümmern wir uns zuerst um die Gleichheit. Wenn aa und bb linear abhängig sind, dann gibt es ein λ∈R\lambda\in\dom R mit b=λab=\lambda a. Also gilt: [σ(a,b)]2{\ntxbraceL{\sigma(a,b)}}^2 =[σ(a,λa)]2={\ntxbraceL{\sigma(a,\lambda a)}}^2 =[λσ(a,a)]2={\ntxbraceL{\lambda\sigma(a, a)}}^2 =σ(a,a)⋅λ2σ(a,a)=\sigma(a, a)\cdot \lambda^2\sigma(a, a) =σ(a,a)⋅σ(λa,λa)=\sigma(a, a)\cdot \sigma(\lambda a, \lambda a) =σ(a,a)⋅σ(b,b)=\sigma(a, a)\cdot \sigma(b, b).
Jetzt nehmen wir an, dass [σ(a,b)]2=σ(a,a)⋅σ(b,b){\ntxbraceL{\sigma(a,b)}}^2= \sigma(a,a) \cdot \sigma(b,b) gilt. Weiterhin wollen wir den Fall a=0a=0 oder b=0b=0 ausschließen, bei dem die lineare Abhängigkeit trivialerweise folgen würden. ObdA. können wir außerdem σ(a,b)≥0\sigma(a,b)\geq 0 annehmen, andernfalls ersetzen wir aa gegen −a\uminus a, ohne dass sich die Voraussetzung ändert. Wir zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen aa und bb linear abhängig sind, nämlich b=σ(b,b)σ(a,a)ab=\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} a gilt. (Der Faktor ist wegen der positiven Definitheit von σ\sigma verschieden von 0.) Wegen Satz 5310A brauchen wir nur σ(b−σ(b,b)σ(a,a) a,b−σ(b,b)σ(a,a) a)=0\sigma\braceNT{b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a,b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a}=0 zu zeigen.
σ(b−σ(b,b)σ(a,a) a,b−σ(b,b)σ(a,a) a)\sigma\braceNT{b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a,b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a} =σ(b,b)−2σ(b,b)σ(a,a)σ(a,b)+σ(b,b)σ(a,a)σ(a,a)=\sigma(b,b)-2\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \sigma(a,b)+{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \sigma(a,a) =2(σ(b,b)−σ(b,b)σ(a,a)σ(a,b))=2\braceNT{\sigma(b,b)-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \sigma(a,b) } =2(σ(b,b)−σ(b,b)σ(a,b)2σ(a,a))=2\braceNT{\sigma(b,b)-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b) \sigma(a,b)^2} {\sigma(a,a) }}}
=2(σ(b,b)−σ(b,b)2σ(a,a)σ(a,a))=2\braceNT{\sigma(b,b)-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)^2 \sigma(a,a)} {\sigma(a,a)}} } (mit der Voraussetzung)
=2(σ(b,b)−σ(b,b))=0=2\braceNT{\sigma(b,b)- \sigma(b,b) }=0
Für die weiteren Überlegungen können wir jetzt annehmen, dass aa und bb linear unabhängig sind. Nehmen wir dann eine beliebige nichttriviale Linearkombination λa+μb\lambda a+\my b von aa und bb. Dann gilt: 0<σ(λa+μb, λa+μb)0< \sigma(\lambda a+\my b,\, \lambda a+\my b) =λ2σ(a,a)+2λμ⋅σ(a,b)+μ2σ(b,b)=\lambda^2\sigma(a,a)+2\lambda\my\cdot \sigma(a,b) +\my^2 \sigma (b,b) ≤σ(a,a)(λ2σ(a,a)+2λμ⋅σ(a,b)+μ2σ(b,b))\leq \sigma(a,a)(\lambda^2\sigma(a,a)+2\lambda\my\cdot \sigma(a,b) +\my^2 \sigma (b,b)) =λ2[σ(a,a)]2+2λμ⋅σ(a,a)σ(a,b)= \lambda^2[\sigma(a,a)]^2+2\lambda\my\cdot \sigma(a,a)\sigma(a,b) +μ2σ(a,a)σ(b,b)+\my^2 \sigma(a,a)\sigma (b,b) =λ2[σ(a,a)]2+2λμ⋅σ(a,a)σ(a,b)= \lambda^2[\sigma(a,a)]^2+2\lambda\my\cdot \sigma(a,a)\sigma(a,b) +μ2[σ(a,b)]2+\my^2[\sigma(a,b)]^2 +μ2σ(a,a)σ(b,b)−μ2[σ(a,b)]2+\my^2 \sigma(a,a)\sigma (b,b)-\my^2[\sigma(a,b)]^2
=[λσ(a,a)+μσ(a,b)]2=[\lambda\sigma(a,a)+\my\sigma(a,b) ]^2 +μ2(σ(a,a)σ(b,b)−[σ(a,b)]2)+\my^2\braceNT{\sigma(a,a)\sigma (b,b)-[\sigma(a,b)]^2}
Wenn wir die letzte Zeile genauer analysieren und dabei berücksichtigen, dass λ\lambda und μ\my beliebige reelle Zahlen sind, ergibt sich die Behauptung. □\qed

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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