Bilinearformen

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über den reellen Zahlen \(\displaystyle \dom R\). Eine Abbildung \(\displaystyle \sigma: V\cross V\rightarrow \dom R\) heißt eine Bilinearform, wenn folgende Eigenschaften gelten.
  1. \(\displaystyle \sigma(\alpha a+\beta b, c)=\alpha\cdot\sigma(a,c)+\beta\cdot\sigma(b,c)\)
  2. \(\displaystyle \sigma (a,\alpha b+\beta c)=\alpha\cdot\sigma(a,b)+\beta\cdot\sigma(a,c)\)
Das bedeutet, dass \(\displaystyle \sigma\) in beiden Argumenten linear ist, daher auch der Name Bilinearform.
Eine Bilinearform \(\displaystyle \sigma\) heißt symmetrisch, wenn \(\displaystyle \sigma(a,b)=\sigma(b,a)\) für alle \(\displaystyle a,b\in V\) gilt.
Eine Bilinearform \(\displaystyle \sigma\) heißt positiv definit, wenn \(\displaystyle \sigma(a,a)>0\) für alle \(\displaystyle a\neq 0\) gilt.
 
 

Satz 5310A (Eigenschaften positiv definiter symmetrischer Bilinearformen)

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über den reellen Zahlen \(\displaystyle \dom R\) und \(\displaystyle \sigma\) eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann gilt für alle \(\displaystyle a\in V\):
\(\displaystyle \sigma(a,a)=0\iff a=0\)
Für jede Bilinearform \(\displaystyle \sigma\) gilt sogar:
\(\displaystyle \sigma(a,0)=\sigma(0,a)=0\).

Beweis

\(\displaystyle \sigma(a,0)=\sigma(a,a-a)\) \(\displaystyle =\sigma(a,a)-\sigma(a,a)=0\); \(\displaystyle \sigma(0,a)\) analog.Ist \(\displaystyle \sigma(a,a)=0\), so muss wegen der positiven Definitheit \(\displaystyle a=0\) gelten; andernfalls wäre ja \(\displaystyle \sigma(a,a)>0\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 5310C (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über den reellen Zahlen \(\displaystyle \dom R\) und \(\displaystyle \sigma\) eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann gilt für alle \(\displaystyle a,b\in V\):
\(\displaystyle [{\sigma(a,b)}]^2\leq \sigma(a,a) \cdot \sigma(b,b)\)
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) linear abhängig sind.

Beweis

Kümmern wir uns zuerst um die Gleichheit. Wenn \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) linear abhängig sind, dann gibt es ein \(\displaystyle \lambda\in\dom R\) mit \(\displaystyle b=\lambda a\). Also gilt: \(\displaystyle {\ntxbraceL{\sigma(a,b)}}^2\) \(\displaystyle ={\ntxbraceL{\sigma(a,\lambda a)}}^2\) \(\displaystyle ={\ntxbraceL{\lambda\sigma(a, a)}}^2\) \(\displaystyle =\sigma(a, a)\cdot \lambda^2\sigma(a, a)\) \(\displaystyle =\sigma(a, a)\cdot \sigma(\lambda a, \lambda a)\) \(\displaystyle =\sigma(a, a)\cdot \sigma(b, b)\).
Jetzt nehmen wir an, dass \(\displaystyle {\ntxbraceL{\sigma(a,b)}}^2= \sigma(a,a) \cdot \sigma(b,b)\) gilt. Weiterhin wollen wir den Fall \(\displaystyle a=0\) oder \(\displaystyle b=0\) ausschließen, bei dem die lineare Abhängigkeit trivialerweise folgen würden. ObdA. können wir außerdem \(\displaystyle \sigma(a,b)\geq 0\) annehmen, andernfalls ersetzen wir \(\displaystyle a\) gegen \(\displaystyle \uminus a\), ohne dass sich die Voraussetzung ändert. Wir zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) linear abhängig sind, nämlich \(\displaystyle b=\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} a\) gilt. (Der Faktor ist wegen der positiven Definitheit von \(\displaystyle \sigma\) verschieden von 0.) Wegen Satz 5310A brauchen wir nur \(\displaystyle \sigma\braceNT{b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a,b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a}=0\) zu zeigen.
\(\displaystyle \sigma\braceNT{b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a,b-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \, a}\) \(\displaystyle =\sigma(b,b)-2\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \sigma(a,b)+{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \sigma(a,a)\) \(\displaystyle =2\braceNT{\sigma(b,b)-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)} {\sigma(a,a)}} \sigma(a,b) }\) \(\displaystyle =2\braceNT{\sigma(b,b)-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b) \sigma(a,b)^2} {\sigma(a,a) }}}\)
\(\displaystyle =2\braceNT{\sigma(b,b)-\sqrt{\dfrac {\sigma(b,b)^2 \sigma(a,a)} {\sigma(a,a)}} }\) (mit der Voraussetzung)
\(\displaystyle =2\braceNT{\sigma(b,b)- \sigma(b,b) }=0\)
Für die weiteren Überlegungen können wir jetzt annehmen, dass \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) linear unabhängig sind. Nehmen wir dann eine beliebige nichttriviale Linearkombination \(\displaystyle \lambda a+\my b\) von \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\). Dann gilt: \(\displaystyle 0< \sigma(\lambda a+\my b,\, \lambda a+\my b)\) \(\displaystyle =\lambda^2\sigma(a,a)+2\lambda\my\cdot \sigma(a,b) +\my^2 \sigma (b,b)\) \(\displaystyle \leq \sigma(a,a)(\lambda^2\sigma(a,a)+2\lambda\my\cdot \sigma(a,b) +\my^2 \sigma (b,b))\) \(\displaystyle = \lambda^2[\sigma(a,a)]^2+2\lambda\my\cdot \sigma(a,a)\sigma(a,b)\) \(\displaystyle +\my^2 \sigma(a,a)\sigma (b,b)\) \(\displaystyle = \lambda^2[\sigma(a,a)]^2+2\lambda\my\cdot \sigma(a,a)\sigma(a,b)\) \(\displaystyle +\my^2[\sigma(a,b)]^2\) \(\displaystyle +\my^2 \sigma(a,a)\sigma (b,b)-\my^2[\sigma(a,b)]^2\)
\(\displaystyle =[\lambda\sigma(a,a)+\my\sigma(a,b) ]^2\) \(\displaystyle +\my^2\braceNT{\sigma(a,a)\sigma (b,b)-[\sigma(a,b)]^2}\)
Wenn wir die letzte Zeile genauer analysieren und dabei berücksichtigen, dass \(\displaystyle \lambda\) und \(\displaystyle \my\) beliebige reelle Zahlen sind, ergibt sich die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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