Lineare Abhängigkeit

Linearkombinationen

Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass die Vektorraumgesetze für endlich viele Summanden bzw. Faktoren gelten. Damit kommt man zum Begriff der Linearkombination. Sind die \(\displaystyle v_1,\ldots, v_n\) Elemente aus \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in K\), dann nennt man die Form
\(\displaystyle \alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i v_i\)
eine Linearkombination der \(\displaystyle v_1,\ldots v_n\) mit den Faktoren \(\displaystyle \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\).
Wenn die \(\displaystyle \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\) alle gleich Null sind, heißt die Linearkombination trivial, sonst wird sie nichttrivial genannt.
 
 

Lineare Abhängigkeit

Seien \(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n\in V\) Vektoren aus \(\displaystyle V\). Dann heißen sie linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination darstellen lässt. Also: \(\displaystyle \alpha_1 v_1+\ldots +\alpha_n v_n=0\implies \alpha_1=0 \and \ldots \and \alpha_n=0\)
Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.
Eine beliebige nichtleere Teilmenge \(\displaystyle L\subseteq V\) heißt linear unabhängig, wenn endlich viele beliebig gewählte Vektoren aus \(\displaystyle L\) linear unabhängig sind. Die leere Menge soll linear unabhängig sein.
Ebenso ist eine beliebige Teilmenge \(\displaystyle L\subseteq V\) linear abhängig, wenn es endlich viele linear abhängig Vektoren in \(\displaystyle L\) gibt.
Ein einzelner Vektor ist nach der obigen Definition genau dann linear unabhängig, wenn er verschieden vom Nullvektor ist.

Beispiele

Der Nullvektor ist linear abhängig, denn es gilt \(\displaystyle 0=1\cdot 0\). Ebenso ist jede Menge, die den Nullvektor enthält linear abhängig.
Die leere Menge \(\displaystyle \emptyset\) ist stets linear unabhängig.
Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor ist linear unabhängig.
Im \(\displaystyle \domRZwei\) sind die Vektoren \(\displaystyle (1,0)\) und \(\displaystyle (0,1)\) linear unabhängig. Die Vektoren \(\displaystyle a=(-1,2)\) und \(\displaystyle b=(2,-4)\) sind linear abhängig, denn es gilt \(\displaystyle 2a+b=0\).
Allgemein gilt, dass im kanonischen Vektorraum \(\displaystyle K^n\) über \(\displaystyle K\) die Vektoren: \(\displaystyle e_1:=(1,0,0,\ldots,0)\), \(\displaystyle e_2:=(0,1,0,\ldots,0)\) bis \(\displaystyle e_n:=(0,0,0,\ldots,1)\) linear unabhängig sind.
Wenn ein Vektor \(\displaystyle w\in V\) Linearkombination der Vektoren \(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n\in V\) ist, also \(\displaystyle w=\alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}\), dann sind \(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n, w\) trivialerweise linear abhängig. Andererseits gilt auch:

Lemma 5216A

Seien \(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n, w\in V\) linear abhängig und \(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n\) linear unabhängig, dann lässt sich \(\displaystyle w\) als Linearkombination der \(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n\) darstellen. Es gibt also \(\displaystyle \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in K\) mit \(\displaystyle w=\alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}\).

Beweis

\(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n, w\in V\) sind linear abhängig also gibt es \(\displaystyle \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in K\) mit \(\displaystyle \alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}+\beta w=0\); umformuliert: \(\displaystyle \beta w=-({v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n})\).
Andererseits muss aber wegen der linearen Unabhängigkeit der \(\displaystyle v_1,\ldots ,v_n\) auch \(\displaystyle \alpha_1{v_1}+\ldots +\alpha_n{v_n}\neq 0\) gelten. Damit muss aber \(\displaystyle \beta w\neq 0\) sein und da \(\displaystyle w\) beliebig war, gilt \(\displaystyle \beta\neq 0\) und wir können durch \(\displaystyle \beta\) dividieren.
Jetzt können wir sofort die gesuchte Linearkombination angeben: \(\displaystyle w=-\dfrac {\alpha_1}\beta \, v_1+\ldots -\dfrac {\alpha_n}\beta \, v_n\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 15XS (Lineare Unabhängigkeit von Teilmengen)

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\subseteq V\) eine linear unabhängige Teilmenge. Dann ist jede Teilmenge von \(\displaystyle L\) ihrerseits linear unabhängig.

Beweis

Indirekt. Man nehme \(\displaystyle \{v_1,\ldots v_n\}\subset L\) linear abhängig an und dann ist aber \(\displaystyle L\) nach Definition linear abhängig. Widerspruch. \(\displaystyle \qed\)

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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