Eigenwerte

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeichnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.
Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.
Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung nennt sich spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf Lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden.
 
 

Definition

Ist \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über einem Körper \(\displaystyle K\) (in Anwendungen meist der Körper \(\displaystyle \R\) der reellen Zahlen oder der Körper \(\displaystyle \mathbb C\) der komplexen Zahlen) und \(\displaystyle f : V \to V\) eine lineare Abbildung von \(\displaystyle V\) in sich (Endomorphismus), so bezeichnet man als Eigenvektor einen Vektor \(\displaystyle v \ne 0\) der durch \(\displaystyle f\) auf ein Vielfaches \(\displaystyle \lambda \in K\) von sich selbst abgebildet wird:
\(\displaystyle f(v) = \lambda \, v\)
Den Faktor \(\displaystyle \lambda\) nennt man dann den zugehörigen Eigenwert.
Anders formuliert: Hat für ein \(\displaystyle \lambda \in K\) die Gleichung
\(\displaystyle f(v) = \lambda \, v\)
eine Lösung \(\displaystyle v \ne 0\) (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), so heißt \(\displaystyle \lambda\) Eigenwert von \(\displaystyle f\). Jede Lösung \(\displaystyle v \ne 0\) heißt Eigenvektor von \(\displaystyle f\) zum Eigenwert \(\displaystyle \lambda\).
Ist der Vektorraum endlichdimensional, so kann jeder Endomorphismus \(\displaystyle f\) durch eine quadratische Matrix \(\displaystyle A\) beschrieben werden. Die obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung schreiben:
\(\displaystyle A \cdot x = \lambda \,x\)
wobei \(\displaystyle x\) hier einen Spaltenvektor bezeichnet. Man nennt eine Lösung \(\displaystyle x \ne 0\) und \(\displaystyle \lambda\) in diesem Fall Eigenvektor bzw. Eigenwert der Matrix \(\displaystyle A\).
Diese Gleichung kann man auch in der Form
\(\displaystyle A \cdot x = \lambda \,E \cdot x\)
schreiben, wobei \(\displaystyle E\) die Einheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu
\(\displaystyle (A - \lambda E) \cdot x = 0\) bzw.
\(\displaystyle (\lambda E - A) \cdot x = 0\)
umformen.
Manchmal bezeichnet man einen so definierten Eigenvektor auch als Rechtseigenvektor und definiert dann entsprechend den Begriff des Linkseigenvektors durch die Gleichung
\(\displaystyle x^T \cdot A= \lambda \, x^T\).
Wegen \(\displaystyle x^T \cdot A = A^T \cdot x\) sind die Linkseigenvektoren von \(\displaystyle A\) gerade die Rechtseigenvektoren der transponierten Matrix \(\displaystyle A^T\).
Allgemeiner kann man auch quadratische Matrizen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) betrachten und die Gleichung
\(\displaystyle A \cdot x = \lambda \, B \cdot x\).
Dieses allgemeinere Eigenwertproblem wird hier jedoch nicht betrachtet.

Berechnung der Eigenwerte einer Matrix

Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte symbolisch mit Hilfe des charakteristischen Polynoms berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, sodass hier Verfahren der numerischen Mathematik zum Einsatz kommen.

Symbolische Berechnung

Die Eigenwerte definierende Gleichung
\(\displaystyle \left(A - \lambda E\right) \cdot x = 0\)
stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar. Da \(\displaystyle x \neq 0\) vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar wenn gilt:
\(\displaystyle \det\left(A - \lambda E\right) = 0\)
Expandiert man die Determinante auf der linken Seite, so erhält man ein Polynom \(\displaystyle n\)-ten Grades in \(\displaystyle \lambda\). Dieses wird als charakteristisches Polynom bezeichnet und dessen Nullstellen sind die Eigenwerte, also die Lösungen der Gleichung
\(\displaystyle \alpha_n\cdot\lambda^n+\alpha_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+\dots+\alpha_1\cdot\lambda+\alpha_0=0\)
Da ein Polynom vom Grad \(\displaystyle n\) höchstens \(\displaystyle n\) Nullstellen besitzt, gibt es höchstens \(\displaystyle n\) Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig, z.B. jedes Polynom über \(\displaystyle \mathbb C\), so gibt es genau \(\displaystyle n\) Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden.

Eigenraum zum Eigenwert

Ist \(\displaystyle \lambda\) ein Eigenwert der linearen Abbildung \(\displaystyle f \colon V \to V\), dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert den Eigenraum zum Eigenwert \(\displaystyle \lambda\). Der Eigenraum ist definiert durch:
\(\displaystyle \mathrm{Eig} (f, \lambda) := \{v \in V \,|\, f(v) = \lambda \cdot v \}\).

Spektrum und Vielfachheiten

Mehrfache Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach Umbenennung die Aufzählung \(\displaystyle \lambda_1,\dots, \lambda_k\) der verschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten \(\displaystyle \mu_1,\dots,\mu_k \). Dabei ist \(\displaystyle 1\leq k \leq n\) und \(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^k \mu_i=n\). Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit.
Die Menge der Eigenwerte wird Spektrum genannt und \(\displaystyle \sigma\left(A\right)\) geschrieben. Es gilt also:
\(\displaystyle \sigma(A)=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\exists x\neq 0: Ax =\lambda x\}\)
Als Spektralradius bezeichnet man den Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts.
Kennt man die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten (die algebraische und die später erklärte geometrische), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.
Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit.

Beispiel

Gegeben sei die quadratische Matrix
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \).
Subtraktion der mit \(\displaystyle \lambda\) multiplizierten Einheitsmatrix von \(\displaystyle A\):
\(\displaystyle A-\lambda E = \begin{pmatrix} 0 - \lambda & 2 & -1 \\ 2 & -1 - \lambda & 1 \\ 2 & -1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \)
Ausrechnen der Determinante dieser Matrix (mit Hilfe der Regel von Sarrus):
\(\displaystyle \begin{matrix}\det(A-\lambda E)&=&(0-\lambda)(-1-\lambda)(3-\lambda)+4+2-(2\lambda+2+\lambda +12- 4\lambda) \\ &=&-\lambda^3+2\lambda^2+4\lambda-8 \\ &=&-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda+2) \end{matrix}\)
Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des Polynoms, d.h. die rechte Seite der obigen Gleichung gleich Null setzen und man erhält:
\(\displaystyle \lambda_1=2,\ \lambda_2=-2\)
Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Berechnung der Eigenvektoren

Für einen Eigenwert \(\displaystyle \lambda\) lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung
\(\displaystyle (A-\lambda E) \cdot x = 0\)
bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf, dessen Dimension als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert \(\displaystyle \lambda\) der geometrischen Vielfachheit \(\displaystyle \mu\) lassen sich also Eigenvektoren \(\displaystyle x_1,\dots \ ,x_\mu\) finden, so dass die Menge aller Eigenvektoren zu \(\displaystyle \lambda\) gleich der Menge der Linearkombinationen von \(\displaystyle x_1,\dots \ ,x_\mu\) ist. \(\displaystyle (x_1,\dots \ ,x_\mu)\) heißt dann Basis aus Eigenvektoren zum Eigenwert \(\displaystyle \lambda\).
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.
Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit.

Beispiel

Gegeben ist wie im oberen Beispiel die quadratische Matrix \(\displaystyle A\):
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}\)
Die Eigenwerte \(\displaystyle \lambda_1=2 ,\ \lambda_2=-2\) wurden oben schon berechnet. Zunächst werden hier die Eigenvektoren (der Eigenraum) zum Eigenwert \(\displaystyle \lambda_1=2\) berechnet.
\(\displaystyle A - 2 \cdot E = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 2 & -3& 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \)
man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 2 & -3& 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \)
Bringt man jetzt die Matrix auf obere Dreiecksform erhält man:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \)
Die Lösung (und damit die gesuchten Eigenvektoren) ist jetzt der Vektor \(\displaystyle (\dfrac{1}{2} \; 0 \; -1 )^T\) und alle seine Vielfachen (nicht jedoch das Nullfache des Vektors, da Nullvektoren niemals Eigenvektoren sind).
Obwohl dieser Eigenwert eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert also nur ein linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu den einzelnen Eigenwerten hat Dimension 1); also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Was nun versucht werden kann, ist, ob man sie vielleicht stattdessen in die Jordansche Normalform überführen kann. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert "erzwungen" werden. Diese Eigenvektoren nennt man generalisierte Eigenvektoren oder Hauptvektoren. Schlägt auch das fehl, so kann die Matrix auch nicht in die Jordansche Normalform überführt werden.
Für den Eigenwert \(\displaystyle \lambda_2=-2\) geht man genauso vor:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \)
wieder bringt man die Matrix auf Dreiecksform
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dfrac{3}{2} \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \)
Hier ist die Lösung der Vektor \(\displaystyle (\dfrac{3}{2} \; -2 \; -1 )^T\) wieder mit allen seinen Vielfachen.

Eigenschaften

\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{Spur} \; A \) und \(\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{det} \; A\),
wobei bei mehrfachen Eigenwerten die Vielfachheit zu beachten ist.

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Eigenwertproblem aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе