Ähnlichkeit von Matrizen, Problem der Diagonalisierbarkeit

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Bei Endomorphismen \(\displaystyle f\colon V \to V\) (mit \(\displaystyle n = \dim V < \infty\)) betrachten wir Darstellungsmatrizen \(\displaystyle A\) bezüglich derselben Basis \(\displaystyle B = \{ b_1,\dots,b_n \}\) in Urbildraum gleich Bildraum \(\displaystyle V\).
Bei einem Basiswechsel \(\displaystyle B \to B'\) mit zugehörigen Koordinaten-Transformationen \(\displaystyle \xi' = T \cdot \xi\) gilt für die Darstellungsmatrizen \(\displaystyle A' = T \cdot A \cdot T^{\, -1}\) mit einer regulären Matrix \(\displaystyle T\) (siehe Folgerung 816E).
 
 

Definition

Zwei quadratische Matrizen \(\displaystyle A,A' \in \Mat(n\cross n,{\mathbb{K}})\) heißen ähnlich, in Zeichen \(\displaystyle A \approx A'\), wenn eine reguläre Matrix \(\displaystyle T \in \Mat(n\cross n,{\mathbb{K}})\) existiert mit \(\displaystyle A' = T A T^{-1}\).

Bemerkung

  1. Dies ist wieder eine mengentheoretische Äquivalenzrelation in \(\displaystyle \Mat(n\cross n,{\mathbb{K}})\). Ähnliche Matrizen sind auch äquivalent, \(\displaystyle A \approx A' \Rightarrow A \sim A'\), aber die Äquivalenzklassen bezüglich \(\displaystyle \sim\) werden durch die Ähnlichkeitsklassen weiter aufgegliedert.
  2. Ähnliche Matrizen können aufgefasst werden als Darstellungsmatrizen derselben linearen Abbildung \(\displaystyle f\) bei nur anders gewählten (aber in Urbild- und Bildraum gleichen) Basen.
Problem: Wir suchen wieder einfache Repräsentanten in den Ähnlichkeitsklassen, das heißt Normalformen ähnlicher Matrizen. Eine Normalform \(\displaystyle D_r = \begin{pmatrix} 1 \\ && \ddots \\ & && 1 \\ & && & \ddots \\ &&&&& 0 \end{pmatrix}\) wie bei den äquivalenten Matrizen ist im allgemeinen nicht zu erreichen. Weitere einfache Kandidaten für solche Normalformen sind Diagonalmatrizen \(\displaystyle D = \diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}\).Vorläufiges Normalformenproblem: Welche Matrizen sind einer Diagonalmatrix ähnlich?

Diagonalisierbarkeit

Ein Endomorphismus \(\displaystyle f \colon V \to V\) (\(\displaystyle \dim V = n < \infty\)) heißt diagonalisierbar, wenn er eine Diagonalmatrix \(\displaystyle D = \diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) als Darstellungsmatrix bezüglich einer Basis \(\displaystyle B = \{ b_1,\dots,b_n \}\) besitzt.Eine Matrix \(\displaystyle A \in M(n,n,{\mathbb{K}})\) diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.

Beispiel

Es gilt \(\displaystyle \left(\begin{array} 1&0\\0&2\end{array}\right)\approx\left(\begin{array}1&1\\0&2\end{array}\right)\), denn für \(\displaystyle S=\left(\begin{array}1&1\\0&1 \end{array}\right)\) gilt \(\displaystyle S^{-1}=\left(\begin{array}1&-1\\0&1 \end{array}\right)\) und \(\displaystyle S^{-1}\cdot\left(\begin{array}11 \\ 02\end{array}\right)\cdot S\) \(\displaystyle =\left(\begin{array}1&-1\\0&1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}11 \\ 02\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}1&1\\0&1 \end{array}\right)\) \(\displaystyle =\left(\begin{array}1&-1\\0&1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}1&2\\0&2 \end{array}\right)\) \(\displaystyle =\left(\begin{array} 1&0\\0&2\end{array}\right)\)
\(\displaystyle \left(\begin{array} 1&1\\0&2\end{array}\right)\) ist also diagonalisierbar.

Bemerkung

Ähnliche Matrizen haben die gleichen Eigenwerte, aber nicht die gleichen Eigenvektoren. Ist beispielsweise \(\displaystyle Av=\lambda v\) und \(\displaystyle B=S^{-1}AS\), so gilt für \(\displaystyle w=S^{-1}v\) \(\displaystyle Bw=S^{-1}ASS^{-1}v\) \(\displaystyle =S^{-1}Av\) \(\displaystyle =S^{-1}\lambda v\) \(\displaystyle =\lambda S^{-1}v\) \(\displaystyle =\lambda w, \) aber meistens \(\displaystyle w\neq v\).
\(\displaystyle \left(\begin{array}1&0\\0&2\end{array}\right)\) hat Eigenwerte \(\displaystyle 1, 2\) und Eigenvektoren \(\displaystyle \left(\begin{array}1\\0\end{array}\right)\), \(\displaystyle \left(\begin{array}0\\1\end{array}\right)\).\(\displaystyle \left(\begin{array}1&1\\0&2\end{array}\right)\) hat Eigenwerte \(\displaystyle 1, 2\) und Eigenvektoren \(\displaystyle \left(\begin{array}1\\0 \end{array}\right)\), \(\displaystyle \left(\begin{array}1\\1 \end{array}\right)\).

Satz 817H (Diagonalisierbarkeit und Eigenvektoren)

\(\displaystyle f \colon V \to V\) (\(\displaystyle \dim V = n < \infty\)) ist diagonalisierbar \(\displaystyle \,\iff\,\) Es existiert eine Basis \(\displaystyle B = \{ b_1,\dots,b_n \}\) von \(\displaystyle V\) aus Eigenvektoren mit der Eigenschaft \(\displaystyle \forall_{k=1}^n\, f(b_k) = \lambda_kb_k\) mit \(\displaystyle \lambda_k \in K\).

Beweis

Sind \(\displaystyle \lambda_1,\dots,\lambda_n\) gerade die Eigenwerte von \(\displaystyle f\) so ist \(\displaystyle \diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) genau die Darstellungsmatrix für eine Basis bestehend aus Eigenvektoren. \(\displaystyle \qed\)
Aus Satz 817H und Satz 816J ergibt sich:

Folgerung 817I

Ein Endomorphismus \(\displaystyle f \colon V \to V\) mit \(\displaystyle \dim V = n < \infty\) ist diagonalisierbar \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle V = E_{\lambda_1} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_m}\) mit paarweise verschiedenen Eigenwerten \(\displaystyle \lambda_1,\dots,\lambda_m\) \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle n = d_1 + \dots + d_m\) mit den zugehörigen geometrischen Vielfachheiten \(\displaystyle d_1,\dots,d_m\).

Bemerkung

Im allgemeinen kann man nur zeigen: \(\displaystyle V = E_{\lambda_1} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_m} \oplus U\) mit einem "Rest"-Unterraum \(\displaystyle U\), der keine Eigenvektoren mehr enthält, mit der Dimension \(\displaystyle n - \sum\limits_{i=1}^m d_i \ge 0\) (Schlimmster Fall: \(\displaystyle V = U\)).Zur Lösung des allgemeinen Normalformenproblems für ähnliche Matrizen muss dieser Restraum weiter untersucht werden.

Satz 81FG

  1. Sei \(\displaystyle f\in\End_K(V)\) ein Endomorphismus und \(\displaystyle {A},{B}\) Basen von \(\displaystyle V\). Dann sind die Darstellungsmatrizen von \(\displaystyle f\) bezüglich \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) ähnlich: \(\displaystyle M^{\cal A}_{\cal A}(f)\sim M^{\cal B}_{\cal B}(f) \).
  2. Sei \(\displaystyle A\in\Mat(n\times n, K)\) eine quadratische Matrix und \(\displaystyle f:K^n \longrightarrow K^n\) die zugehörige lineare Abbildung (\(\displaystyle \nohtml A=M^{E}_{E}(f)\) für eine Basis \(\displaystyle E\) ). Dann ist \(\displaystyle A\) genau dann diagonalisierbar, wenn \(\displaystyle f\) diagonalisierbar ist.

Beweis

(i): Es gilt (Satz 16B1): \(\displaystyle M^{\cal A}_{\cal B}(\id)\cdot M^{\cal A}_{\cal A}(f)\cdot M^{\cal B}_{\cal A}(\id)=M_{\cal B}^{\cal B}(f), \) also \(\displaystyle M_{\cal B}^{\cal B}(f)=S^{-1}\cdot M^{\cal A}_{\cal A}(f)\cdot S \) mit \(\displaystyle S=M^{\cal B}_{\cal A}(\id)\).(ii) "\(\displaystyle \Rightarrow\)": Sei \(\displaystyle A\) diagonalisierbar \(\displaystyle \Rightarrow\exists S\) mit \(\displaystyle S^{-1}AS=D\) und \(\displaystyle D\) diagonal. Nun ist \(\displaystyle M^{\cal E}_S(\id)=S^{-1}\), wenn man die Spalten von \(\displaystyle S\) als Basis von \(\displaystyle V\) auffasst. Dies ist möglich, da \(\displaystyle S\) invertierbar ist. Damit gilt \(\displaystyle D=S^{-1}AS\) \(\displaystyle =M^{\cal E}_S(\id)\cdot M_{\cal E}^{\cal E}(f)\cdot M^S_{\cal E}(\id)\) \(\displaystyle =M^S_S(f) \). Also ist \(\displaystyle f\) diagonalisierbar. "\(\displaystyle \Leftarrow\)": Sei \(\displaystyle f\) diagonalisierbar. Dann gibt es eine Basis \(\displaystyle {\cal B}\) mit \(\displaystyle M^{\cal B}_{\cal B}(f)=D\). Da \(\displaystyle M^{\cal E}_{\cal E}(f)=A\) folgt die Behauptung aus (i). Also \(\displaystyle A\approx D\). \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung

Nach Satz 81FG können wir uns also bei Betrachtungen zur Diagonalisierbarkeit (von Endomorphismen) immer auf die Diagonalisierbarkeit von Matrizen zurückziehen. Wenn wir \(\displaystyle f\in\End_K(V)\) diagonalisieren möchten, wählen wir eine beliebige Basis \(\displaystyle {\cal A}\) von \(\displaystyle V\) und diagonalisieren \(\displaystyle M^{\cal A}_{\cal A}(f)\) als Matrix.

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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