Basiswechsel und Darstellungsmatrizen

Bei Wechsel der Basis eines Vektorraums ändert sich auch die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung. Diese Änderung kann durch Multiplikation mit der Darstellungsmatrix der identischen Abbildung bzgl. der alten und der neuen Basis beschrieben werden.

Einführendes Beispiel

Im Vektorraum R2\R^2 sei B={(10),(01)}B=\ntxbraceK{\pmatrix { 1 \\ 0},\pmatrix { 0\\ 1}} die Standardbasis und C={(13),(24)}C=\ntxbraceK{\pmatrix { 1\\ 3},\pmatrix { 2\\ 4}} eine weitere Basis.
Wegen (13)=1⋅(10)+3⋅(01)\pmatrix { 1\\ 3}=1\cdot\pmatrix { 1\\ 0}+3\cdot \pmatrix { 0\\ 1} und (24)=2⋅(10)+4⋅(01)\pmatrix { 2\\ 4}=2\cdot\pmatrix { 1\\ 0}+4\cdot \pmatrix { 0\\ 1} ist S:=MC,B(id⁡)=(1234)S:=M_{C,B}(\id)=\pmatrix {1& 2\\ 3& 4} die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung.
Andererseits ist (10)=−2⋅(13)+32 ⋅(24)\pmatrix { 1\\ 0}=-2\cdot\pmatrix { 1\\ 3}+\dfrac 3 2\, \cdot\pmatrix { 2\\ 4} und (01)=1⋅(13)+−12 ⋅(24)\pmatrix { 0\\ 1}=1\cdot\pmatrix { 1\\ 3}+-\dfrac 1 2\, \cdot\pmatrix { 2\\ 4}, daher ist T:=MB,C(id⁡)=(−2132−12)T:= M_{B,C}(\id)=\pmatrix {{\uminus 2}& 1\\ \dfrac 3 2 &{-\dfrac 1 2}} die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung.
Nun gilt ST=EST=E, beide Matrizen sind zueinander invers (vgl. Beispiel 16AZ). Dieses Ergebnis gilt auch allgemein:
 
 

Satz 16B0

Sei VV ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper KK und BB und CC seien zwei Basen. Dann ist die Darstellungsmatrix S=MB,C(id⁡)S=M_{B,C}(\id) der identischen Abbildung invertierbar und die inverse Matrix ist genau die Darstellungsmatrix S−1=MC,B(id⁡)S^\me=M_{C,B}(\id).

Beweis

Mit Satz 15YX und Bemerkung 16B2 erhält man:
MB,C(id⁡) ⋅MC,B(id⁡)=MB(id⁡)=EM_{B,C}(\id)\, \cdot M_{C,B}(\id)=M_B(\id)=E. □\qed

Satz 16B1 (Basiswechsel und Darstellungsmatrizen)

Seien V,WV,W zwei endlich dimensionale Vektorräume über dem selben Körper KK. B,B′B,B' seien Basen von VV und C,C′C,C' Basen von WW sowie f:V→Wf: V\to W eine beliebige lineare Abbildung. Dann gilt
MB′,C′(f)=MC,C′(id⁡W) ⋅MB,C(f) ⋅MB′,B(id⁡V)M_{B',C'}(f)=M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V).

Beweis

Man benutzt mehrfach Satz 15YX und erhält: (MC,C′(id⁡W) ⋅MB,C(f)) ⋅MB′,B(id⁡V)(M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f))\, \cdot M_{B',B}(\id_V) =MB,C′(f) ⋅MB′,B(id⁡V)=MB′,C′(f)=M_{B,C'}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V)=M_{B',C'}(f) □\qed
Aus Satz 16B0 und Satz 16B1 erhält man

Folgerung 816E

Sei f:V→Vf:V\to V eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich und BB und CC seien Basen von VV. Ist T:=MC,B(id⁡)T:=M_{C,B}(\id), so gilt
MC(f)=T−1⋅MB(f)⋅TM_C(f)=T^{-1}\cdot M_B(f)\cdot T.

Beispiel

Sei f:R2→R3f:\R^2\to\R^3 mit (x,y)↦(y,x+y,x−y)(x,y)\mapto (y,x+y,x-y). BB und CC seien jeweils die Standardbasen. f(10)=(011)=0⋅(100)+1⋅(01 0)+1⋅(001)f\pmatrix{1\\ 0}=\pmatrix{0\\ 1\\ 1}=0\cdot \pmatrix{1\\ 0\\ 0}+1\cdot \pmatrix{0\\ 1\ 0}+1\cdot \pmatrix{0\\ 0\\ 1} f(01)=(11−1)=1⋅(100)+1⋅(010)−1⋅(001)f\pmatrix{0\\ 1}=\pmatrix{1\\ 1\\ \me}=1\cdot \pmatrix{1\\ 0\\ 0}+1\cdot \pmatrix{0\\ 1\\ 0}-1\cdot \pmatrix{0\\ 0\\ 1} MB,C(f)=(01111−1)M_{B,C}(f)=\pmatrix{0 &1\\1& 1\\1& \me}
B′=((13),(24))B'=\left(\pmatrix{1\\ 3},\pmatrix{2\\ 4}\right); id⁡(13)=(13)=1⋅(10)+3⋅(01)\id\pmatrix{1\\ 3}=\pmatrix{1\\ 3}=1\cdot \pmatrix{1\\ 0}+3\cdot \pmatrix{0\\ 1}; id⁡(24)=(24)=2⋅(10)+4⋅(01)\id\pmatrix{2\\ 4}=\pmatrix{2\\ 4}=2\cdot \pmatrix{1\\ 0}+4\cdot \pmatrix{0\\ 1}; MB′,B(id⁡V)=(1234)M_{B',B}(\id_V)=\pmatrix{1& 2\\3& 4}
C′=((101),(111),(100))C'=\left(\pmatrix{1\\ 0\\ 1},\pmatrix{1\\ 1\\ 1},\pmatrix{1\\ 0\\ 0}\right); id⁡(100)=(100)=0⋅(101)+0⋅(111)+1⋅(100)\id\pmatrix{1\\ 0\\ 0}=\pmatrix{1\\ 0\\ 0}=0\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+0\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}; id⁡(010)=(010)=−1⋅(101)+1⋅(111)+0⋅(100)\id\pmatrix{0\\ 1\\ 0}=\pmatrix{0\\ 1\\ 0}=-1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+1\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+0\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}; id⁡(001)=(001)=1⋅(101)+0⋅(111)−1⋅(100)\id\pmatrix{0\\ 0\\ 1}=\pmatrix{0\\ 0\\ 1}=1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+0\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}-1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}; MC,C′(id⁡W)=(0−1101010−1)M_{C,C'}(\id_W)=\pmatrix{0& \me& 1\\0& 1& 0\\1& 0& \me}
f(13)=(34−2)=−6⋅(101)+4⋅(111)+5⋅(100)f\pmatrix{1\\ 3}=\pmatrix{3\\ 4\\ {-2}}=-6\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+4\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+5\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}; f(24)=(46−2)=−8⋅(101)+6⋅(111)+6⋅(100)f\pmatrix{2\\ 4}=\pmatrix{4\\ 6\\ {-2}}=-8\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+6\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+6\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}; MB′,C′(f)=(−6−84656)M_{B',C'}(f)=\pmatrix{{-6}& {-8}\\4& 6\\5& 6}
Jetzt die Kontrollrechnung:
MC,C′(id⁡W) ⋅MB,C(f) ⋅MB′,B(id⁡V)M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V) =(0−1101010−1)⋅(01111−1)⋅(1234)=\pmatrix{0& \me &1\\0& 1 &0\\1& 0& \me}\cdot\pmatrix{0& 1\\ 1& 1\\1& \me}\cdot\pmatrix{1& 2\\3& 4} =(0−1101010−1)⋅(3446−2−2)=\pmatrix{0& \me& 1\\ 0& 1& 0\\1& 0& \me}\cdot\pmatrix{3& 4\\ 4& 6\\{-2}&{-2}} =(−6−84656)=MB′,C′(f)=\pmatrix{{-6}& {-8}\\4& 6\\5& 6}=M_{B',C'}(f)

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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