Basiswechsel und Darstellungsmatrizen

Bei Wechsel der Basis eines Vektorraums ändert sich auch die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung. Diese Änderung kann durch Multiplikation mit der Darstellungsmatrix der identischen Abbildung bzgl. der alten und der neuen Basis beschrieben werden.

Einführendes Beispiel

Im Vektorraum \(\displaystyle \R^2\) sei \(\displaystyle B=\ntxbraceK{\pmatrix { 1 \\ 0},\pmatrix { 0\\ 1}}\) die Standardbasis und \(\displaystyle C=\ntxbraceK{\pmatrix { 1\\ 3},\pmatrix { 2\\ 4}}\) eine weitere Basis.
Wegen \(\displaystyle \pmatrix { 1\\ 3}=1\cdot\pmatrix { 1\\ 0}+3\cdot \pmatrix { 0\\ 1}\) und \(\displaystyle \pmatrix { 2\\ 4}=2\cdot\pmatrix { 1\\ 0}+4\cdot \pmatrix { 0\\ 1}\) ist \(\displaystyle S:=M_{C,B}(\id)=\pmatrix {1& 2\\ 3& 4}\) die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung.
Andererseits ist \(\displaystyle \pmatrix { 1\\ 0}=-2\cdot\pmatrix { 1\\ 3}+\dfrac 3 2\, \cdot\pmatrix { 2\\ 4}\) und \(\displaystyle \pmatrix { 0\\ 1}=1\cdot\pmatrix { 1\\ 3}+-\dfrac 1 2\, \cdot\pmatrix { 2\\ 4}\), daher ist \(\displaystyle T:= M_{B,C}(\id)=\pmatrix {{\uminus 2}& 1\\ \dfrac 3 2 &{-\dfrac 1 2}}\) die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung.
Nun gilt \(\displaystyle ST=E\), beide Matrizen sind zueinander invers (vgl. Beispiel 16AZ). Dieses Ergebnis gilt auch allgemein:
 
 

Satz 16B0

Sei \(\displaystyle V\) ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\) und \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) seien zwei Basen. Dann ist die Darstellungsmatrix \(\displaystyle S=M_{B,C}(\id)\) der identischen Abbildung invertierbar und die inverse Matrix ist genau die Darstellungsmatrix \(\displaystyle S^\me=M_{C,B}(\id)\).

Beweis

Mit Satz 15YX und Bemerkung 16B2 erhält man:
\(\displaystyle M_{B,C}(\id)\, \cdot M_{C,B}(\id)=M_B(\id)=E\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 16B1 (Basiswechsel und Darstellungsmatrizen)

Seien \(\displaystyle V,W\) zwei endlich dimensionale Vektorräume über dem selben Körper \(\displaystyle K\). \(\displaystyle B,B'\) seien Basen von \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle C,C'\) Basen von \(\displaystyle W\) sowie \(\displaystyle f: V\to W\) eine beliebige lineare Abbildung. Dann gilt
\(\displaystyle M_{B',C'}(f)=M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V)\).

Beweis

Man benutzt mehrfach Satz 15YX und erhält: \(\displaystyle (M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f))\, \cdot M_{B',B}(\id_V)\) \(\displaystyle =M_{B,C'}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V)=M_{B',C'}(f)\) \(\displaystyle \qed\)
Aus Satz 16B0 und Satz 16B1 erhält man

Folgerung 816E

Sei \(\displaystyle f:V\to V\) eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich und \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) seien Basen von \(\displaystyle V\). Ist \(\displaystyle T:=M_{C,B}(\id)\), so gilt
\(\displaystyle M_C(f)=T^{-1}\cdot M_B(f)\cdot T\).

Beispiel

Sei \(\displaystyle f:\R^2\to\R^3\) mit \(\displaystyle (x,y)\mapto (y,x+y,x-y)\). \(\displaystyle B\) und \(\displaystyle C\) seien jeweils die Standardbasen. \(\displaystyle f\pmatrix{1\\ 0}=\pmatrix{0\\ 1\\ 1}=0\cdot \pmatrix{1\\ 0\\ 0}+1\cdot \pmatrix{0\\ 1\ 0}+1\cdot \pmatrix{0\\ 0\\ 1}\) \(\displaystyle f\pmatrix{0\\ 1}=\pmatrix{1\\ 1\\ \me}=1\cdot \pmatrix{1\\ 0\\ 0}+1\cdot \pmatrix{0\\ 1\\ 0}-1\cdot \pmatrix{0\\ 0\\ 1}\) \(\displaystyle M_{B,C}(f)=\pmatrix{0 &1\\1& 1\\1& \me}\)
\(\displaystyle B'=\left(\pmatrix{1\\ 3},\pmatrix{2\\ 4}\right)\); \(\displaystyle \id\pmatrix{1\\ 3}=\pmatrix{1\\ 3}=1\cdot \pmatrix{1\\ 0}+3\cdot \pmatrix{0\\ 1}\); \(\displaystyle \id\pmatrix{2\\ 4}=\pmatrix{2\\ 4}=2\cdot \pmatrix{1\\ 0}+4\cdot \pmatrix{0\\ 1}\); \(\displaystyle M_{B',B}(\id_V)=\pmatrix{1& 2\\3& 4}\)
\(\displaystyle C'=\left(\pmatrix{1\\ 0\\ 1},\pmatrix{1\\ 1\\ 1},\pmatrix{1\\ 0\\ 0}\right)\); \(\displaystyle \id\pmatrix{1\\ 0\\ 0}=\pmatrix{1\\ 0\\ 0}=0\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+0\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}\); \(\displaystyle \id\pmatrix{0\\ 1\\ 0}=\pmatrix{0\\ 1\\ 0}=-1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+1\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+0\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}\); \(\displaystyle \id\pmatrix{0\\ 0\\ 1}=\pmatrix{0\\ 0\\ 1}=1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+0\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}-1\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}\); \(\displaystyle M_{C,C'}(\id_W)=\pmatrix{0& \me& 1\\0& 1& 0\\1& 0& \me}\)
\(\displaystyle f\pmatrix{1\\ 3}=\pmatrix{3\\ 4\\ {-2}}=-6\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+4\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+5\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}\); \(\displaystyle f\pmatrix{2\\ 4}=\pmatrix{4\\ 6\\ {-2}}=-8\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 1}+6\cdot\pmatrix{1\\ 1\\ 1}+6\cdot\pmatrix{1\\ 0\\ 0}\); \(\displaystyle M_{B',C'}(f)=\pmatrix{{-6}& {-8}\\4& 6\\5& 6}\)
Jetzt die Kontrollrechnung:
\(\displaystyle M_{C,C'}(\id_W)\, \cdot M_{B,C}(f)\, \cdot M_{B',B}(\id_V)\) \(\displaystyle =\pmatrix{0& \me &1\\0& 1 &0\\1& 0& \me}\cdot\pmatrix{0& 1\\ 1& 1\\1& \me}\cdot\pmatrix{1& 2\\3& 4}\) \(\displaystyle =\pmatrix{0& \me& 1\\ 0& 1& 0\\1& 0& \me}\cdot\pmatrix{3& 4\\ 4& 6\\{-2}&{-2}}\) \(\displaystyle =\pmatrix{{-6}& {-8}\\4& 6\\5& 6}=M_{B',C'}(f)\)

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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