Invertierbare Matrizen

Eine Matrix \(\displaystyle A\in\Mat(n\cross n,K)\) heißt invertierbar oder regulär, falls es eine Matrix \(\displaystyle B\in\Mat(n\cross n,K)\) gibt, so dass
\(\displaystyle BA=E\),
wobei \(\displaystyle E\) die Einheitsmatrix ist.
Die Rechtfertigung von der Invertierbaren zu sprechen wird durch Satz 16AV gegeben, wo gezeigt wird, dass es keinen Unterschied zwischen einer Linksinversen und einer Rechtsinversen gibt und die Inverse einer Matrix eindeutig bestimmt ist. Daher ist die Schreibweise \(\displaystyle A^\me\) für die inverse Matrix gerechtfertigt und es gilt
\(\displaystyle A^\me A=AA^\me=E\)
 
 

Beispiele

Beispiel 16AZ

Die Inverse zur Matrix \(\displaystyle \pmatrix {1& 2 \\ 3& 4} \) ist \(\displaystyle \pmatrix {{\uminus 2}& 1\\ \dfrac 3 2 &{-\dfrac 1 2}}\).
Die inverse Matrix zur Einheitsmatrix \(\displaystyle E\) ist wiederum \(\displaystyle E\).

Satz 16AU (Invertierbare Matrizen und bijektive Standardabbildungen)

Eine Matrix \(\displaystyle A\in\Mat(n\cross n,K)\) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Standardabbildung \(\displaystyle v\mapto Av\) bijektiv ist.

Beweis

"\(\displaystyle \implies\)": Wir zeigen, dass der Kern der Standardabbildung der Nullvektor ist und dann folgt aus Satz 15XH die Injektivität und aus Satz 15XR die Bijektivität. Sei \(\displaystyle v\in K^n\) und \(\displaystyle B\) die Inverse zu \(\displaystyle A\). Aus \(\displaystyle Av=0\) folgt \(\displaystyle v=Ev=BAv=0\).
"\(\displaystyle \Leftarrow\)": Nach Satz 15XI ist die Umkehrung der Standardabbildung linear, wird also durch eine Matrix \(\displaystyle B\) beschrieben. Da die Hintereinanderausführung von Abbildungen gerade der Matrizenmultiplikation entspricht, ist \(\displaystyle B\) die Inverse zu \(\displaystyle A\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 16AV (Eindeutigkeit der inversen Matrix)

Eine Matrix \(\displaystyle A\in\Mat(n\cross n,K)\) sei invertierbar und \(\displaystyle BA=E\). Dann ist \(\displaystyle B\) eindeutig bestimmt und es gilt \(\displaystyle BA=AB=E\).

Beweis

Ist \(\displaystyle A\) invertierbar, so ist nach Satz 16AU die Standardabbildung \(\displaystyle K^n\to K^n\); \(\displaystyle v\mapto Av\) bijektiv, also auch surjektiv. Für jedes \(\displaystyle w\in K^n\) gibt es ein \(\displaystyle v\in K^n\) mit \(\displaystyle w=Av=A(BA)v\) \(\displaystyle =(AB)Av=ABw\). Damit ist die Standardabbildung zu \(\displaystyle AB\) die identische Abbildung und bzgl. der Standardbasis ist deren Darstellungsmatrix die Einheitsmatrix. Also: \(\displaystyle AB=E\).
Ist \(\displaystyle C\in\Mat(n\cross n,K)\) eine weitere Matrix mit \(\displaystyle CA=E\), dann gilt \(\displaystyle C=CE=C(AB)\) \(\displaystyle =(CA)B=EB=B\), also ist \(\displaystyle B\) eindeutig bestimmt. \(\displaystyle \qed\)

Satz 16B3 (Eigenschaften der inversen Matrix)

Seien \(\displaystyle A,B\in\Mat(n\cross n, K)\) invertierbare Matrizen. Dann gilt:
  1. \(\displaystyle AB\) ist invertierbar und es gilt \(\displaystyle (AB)^\me=B^\me A^\me\)
  2. \(\displaystyle (A^\me)^t=(A^t)^\me\)

Beweis

(i) \(\displaystyle (B^\me A^\me)AB=B^\me (A^\me A)B\) \(\displaystyle =B^\me B=E\). (ii) Unter Benutzung von Satz 15XT: \(\displaystyle (A^\me)^tA^t=(A^\me A)^t=E^t=E\).

Inverse einer 2x2 Matrix

Für eine 2x2 Matrix \(\displaystyle A=\matrix{{a b} {c d}}\) bilden wir die Determinante \(\displaystyle \det(A)=ad-bc\) und erhalten die inverse Matrix mit
\(\displaystyle A^\me=\dfrac 1 {\det(A)}\, \pmatrix{d& {-b}\\ {-c}& a}\).
Ist nun \(\displaystyle \det (A)=0\), so gibt es keine inverse Matrix.

Generelle lineare Gruppe

Alle invertierbaren Matrizen aus \(\displaystyle \Mat(n\cross n, K)\) bilden eine Gruppe, die generelle lineare Gruppe oder auch allgemeine lineare Gruppe. Sie wird mit \(\displaystyle \plain{GL} (n,K)\) bezeichnet. Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix und das inverse Element entspricht der inversen Matrix.
Bei \(\displaystyle \plain{GL} (n,K)\) handelt es sich tatsächlich um eine Gruppe, da nach Satz 16B3 das Produkt zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist und die Gruppenaxiome aus der Eigenschaften der Matrizenmultiplikation (Satz 15YY) folgen.

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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