Definition der Determinante

Eine alternierende \(\displaystyle n\)-Form \(\displaystyle \det:K^n\times\dots\times K^n\rightarrow K \) mit der Eigenschaft \(\displaystyle \det(e_1,\dots,e_n)=1\) heißt Determinante oder auch Determinantenfunktion. Analog definiert man für Matrizen \(\displaystyle \det:\Mat(n\times n,K)\rightarrow K\) mit \(\displaystyle A=(v_1,\dots,v_n)\,\mapsto\, \det(A)\).Ist \(\displaystyle A\in \Mat(n\times n,K)\), so schreibt man auch \(\displaystyle |{A}|:=\det(A)\).
Sei \(\displaystyle A\in\Mat(n,K)\), dann definieren wir die Matrix \(\displaystyle A_{ij}\in\Mat(n-1,K)\) als diejenige Matrix, die aus \(\displaystyle A\) durch Streichen der \(\displaystyle i\)-ten Zeile und der \(\displaystyle j\)-ten Spalte hervorgeht.
 
 

Satz 16N1 (Laplacescher Entwicklungssatz)

Wir berechnen \(\displaystyle \det(A)\) durch "Entwicklung nach der \(\displaystyle i\)-ten Zeile":
(1)
\(\displaystyle \det(A):=\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}) \),
wobei \(\displaystyle \det(a)=a\) für \(\displaystyle a\in K\) gelten soll.Die in (1) definierte Funktion ist eine Determinantenfunktion.

Beispiel (\(\displaystyle n=2\))

\(\displaystyle \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}\) \(\displaystyle =(-1)^{1+1}a_{11}a_{22}+(-1)^{1+2}a_{12}a_{21}\) \(\displaystyle =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\).
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Vom Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen wird das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen abgezogen.

Beispiel (\(\displaystyle n=3\))

\(\displaystyle \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)\(\displaystyle =(-1)^{2+1}a_{21} \begin{vmatrix} a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)\(\displaystyle +(-1)^{2+2}a_{22} \begin{vmatrix} a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}a_{23} \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}\) \(\displaystyle =-a_{21}(a_{12}a_{33}-a_{32}a_{13})+a_{22}(a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13})\)\(\displaystyle -a_{23}(a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12})\) \(\displaystyle = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}\)\(\displaystyle -a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33} \)

Sarussche Regel

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Sarussche Regel
Diese Berechnungsformel heißt Sarussche Regel und kann einfach erhalten werden, indem man die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix schreibt und dann wie in der Grafik veranschaulicht die jeweiligen Produkte addiert oder subtrahiert.

Beweis

Wir bewiesen den Entwicklungssatz durch vollständige Induktion über die Dimension \(\displaystyle n\) des Vektorraums. Dazu benutzen wir \(\displaystyle \det_n\) zur Bezeichnung der Determinantenfunktion für die Dimension \(\displaystyle n\).
Induktionsanfang: Für \(\displaystyle n=1\) ist \(\displaystyle \det_1 (a)=a\) für beliebiges \(\displaystyle a\in K\) eine Determinantenfunktion (vgl. Beispiel 16N4). Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass \(\displaystyle \det_{n-1}\) für die Dimension \(\displaystyle n-1\) eine Determinantenfunktion ist, und zeigen, dass dann auch die durch (1) definierte Funktion für Dimension \(\displaystyle n\) eine Determinante ist.
a) \(\displaystyle \det E_n=1\). Sei \(\displaystyle A=E_n\) und \(\displaystyle i\neq j\). Dann hat \(\displaystyle A_{ij}\) eine Spalte, die verschwindet.
Beispiel: \(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\) \(\displaystyle A_{23}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{pmatrix} \)
Genauer: wenn \(\displaystyle i<j\) wird die \(\displaystyle i\)-te Spalte Null, falls \(\displaystyle i>j\) wird die \(\displaystyle (i-1)\)-te Spalte Null (die Indizes verschieben sich um eins). Nach Induktionsvoraussetzung ist \(\displaystyle \det_{n-1}\) eine Determinante, daher gilt für \(\displaystyle i\neq j\): \(\displaystyle \det_{n-1}(A_{ij})=0\).Für \(\displaystyle i=j\): \(\displaystyle \det_n(A)=(-1)^{i+i}a_{ii}\det_{n-1}(A_{ii})\) \(\displaystyle =\det_{n-1}(E_{n-1})\). Nach Induktionsvoraussetzung folgt: \(\displaystyle \det_n(A)=1\).b) MultilinearitätWir überprüfen die Linearität in der \(\displaystyle k\)-ten Spalte.Sei \(\displaystyle A=(v_1,\dots,v_k,\dots,v_n)\) und \(\displaystyle A'=(v_1,\dots,v'_k,\dots,v_n)\) sowie \(\displaystyle B=(v_1,\dots,\lambda v_k+\lambda'v'_k,\dots,v_n)=(b_{ij})\). Zu zeigen:
\(\displaystyle \det_n(B)=\lambda \det_n(A)+\lambda'\det_n(A') \)
Es gilt:
(2)
\(\displaystyle \det_n(B)=(-1)^{i+k}b_{ik}\det_{n-1}(B_{ik})\)\(\displaystyle +\sum\limits_{j\neq k}(-1)^{i+j}b_{ij}\det_{n-1}(B_{ij})\),
wobei \(\displaystyle b_{ik}=\lambda a_{ik}+\lambda'a'_{ik}\) und \(\displaystyle B_{ik}=A_{ik}=A'_{ik}\) Für \(\displaystyle j\neq k\) gilt nun \(\displaystyle b_{ij}=a_{ij}=a'_{ij}\) und nach Induktionsvoraussetzung \(\displaystyle \det_{n-1}(B_{ij}){=}\lambda \det_{n-1}(A_{ij})+\lambda'\det_{n-1}(A'_{ij})\). Für (2) gilt weiter: \(\displaystyle \det_n(B)=(-1)^{i+k}(\lambda a_{ik}+\lambda'a'_{ik})\underbrace{\det_{n-1}(A_{ik})}_{=\det_{n-1}(A'_{ik})}\) \(\displaystyle +\sum\limits_{j\neq k}(-1)^{i+j}a_{ij}( \lambda \det_{n-1}(A_{ij})+\lambda' \det_{n-1}(A'_{ij}))\)
\(\displaystyle =\lambda\cdot \sum\limits_{j}(-1)^{i+j}a_{ij}\det_{n-1}(A_{ij})\) \(\displaystyle +\lambda'\sum\limits_j(-1)^{i+j}a'_{ij}\det_{n-1}(A'_{ij})\) \(\displaystyle =\lambda \det_n(A)+\lambda'\det_n(A') \)
c) Zu zeigen: \(\displaystyle \det (a_{i1},\dots,a_{in})=0\) falls \(\displaystyle k!=l\) existieren mit \(\displaystyle a_{ik}=a_{il}\). Sei obdA. \(\displaystyle k<l\) und die \(\displaystyle k\)-te Spalte gleich der \(\displaystyle \ l\)-ten Spalte. Wir entwickeln nach der \(\displaystyle i\)-ten Zeile. Für \(\displaystyle j\neq k,l\) hat \(\displaystyle A_{ij}\) zwei gleiche Spalten und nach Induktionsvoraussetzung folgt: \(\displaystyle \det_{n-1}(A_{ij})=0\). Es gilt also
(3)
\(\displaystyle \det_n(A)=(-1)^{i+k} a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})\)\(\displaystyle +(-1)^{i+l}a_{il}\det_{n-1}(A_{il})\)
Nach Voraussetzung ist \(\displaystyle a_{ik}=a_{il}\). Bezeichnen wir mit \(\displaystyle w_j\) die Spaltenvektoren, dann können wir \(\displaystyle A_{ik}\) und \(\displaystyle A_{il}\) folgendermaßen schreiben:
\(\displaystyle A_{ik}=(w_1,\dots,w_{k-1},w_{k+1},\dots,w_{l-1},w,w_{l+1},\dots,w_n)\)
\(\displaystyle A_{il}=(w_1,\dots,w_{k-1},w,w_{k+1},\dots,w_{l-1},w_{l+1},\dots,w_n), \)
wobei \(\displaystyle w=w_k=w_l\) und der \(\displaystyle i\)-ten Eintrag gestrichen ist. Das heißt: \(\displaystyle A_{ik}\) entsteht aus \(\displaystyle A_{il}\) durch Vertauschungen von Spalten:
\(\displaystyle A_{il}=(\underbrace{w_1,\dots,w_{k-1}}_{\text{fest}},\underbrace{w,w_{k+1},\dots,w_{l-1}}_{\text {VT}},\underbrace{w_{l+1},\dots,w_n}_{\text{fest}})\)
VT: \(\displaystyle (w,w_{k+1},\dots)\) \(\displaystyle \rightarrow (w_{k+1},w,w_{k+2},\dots)\) und nach \(\displaystyle l-k-1\) Vertauschungen: \(\displaystyle \rightarrow (w_{k+1}w_{k+2},\dots,w_{l-1}, w)\).
Nach Induktionsvoraussetzung ist (wegen Satz 16N3) \(\displaystyle \det_{n-1}\) eine alternierende \(\displaystyle n\)-Form) und es gilt:
\(\displaystyle \det_{n-1}(A_{il})=(-1)^{l-k-1}\det_{n-1}(A_{ik}) \)
Setzen wir dies in (3) ein: \(\displaystyle \det_n(A)=(-1)^{i+k}a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})\)\(\displaystyle +(-1)^{i+l}a_{il}(-1)^{l-k-1}\det_{n-1}(A_{ik})\) \(\displaystyle =a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})( (-1)^{i+k}+\underbrace{(-1)^{i+l+l-k-1}}_{=(-1)^{i+k+1}} )\) \(\displaystyle =a_{ik}\det_{n-1}(A_{ik})(-1)^{i+k}((-1)^0 +(-1)^1) =0 \).
Wegen b) und c) können wir Satz 16N3 anwenden, daher ist \(\displaystyle \det\) eine alternierende Form wegen a) auch eine Determinantenfunktion. \(\displaystyle \qed\) Der Laplacesche Entwicklungssatz garantiert die Existenz einer Determinantenfunktion. Diese ist auch eindeutig bestimmt.

Satz 16N2 (Existenz und Eindeutigkeitssatz für Determinanten)

Für jeden Körper \(\displaystyle K\) und jedes \(\displaystyle n>=1\) gibt es genau eine Determinantenfunktion.

Beweis

Eindeutigkeit

Sei neben \(\displaystyle \det\) auch \(\displaystyle \det'\) eine Determinantenfunktion für \(\displaystyle \Mat(n,K)\) und \(\displaystyle A\in\Mat(n,K)\).Ist \(\displaystyle \rang A<n\), sind die Spalten von \(\displaystyle A\) also linear abhängig, so gilt nach Satz 16MP (ii) \(\displaystyle \det{A}=\det'{A}=0\).
Sei nun \(\displaystyle \rang A=n\), dann wenden wir auf die Spalten von \(\displaystyle A\) das Gaußsche Eliminationsverfahren an und können so \(\displaystyle A\) in die Einheitsmatrix \(\displaystyle E\) umformen. Nach Definition der Determinantenfunktion gilt \(\displaystyle \det{E}=\det'{E}=1\). Alle Umformungen können wir wieder rückgängig machen und nach Satz 16MP gilt dann \(\displaystyle \det{A}=\det'{A}\).
Der Eindeutigsbeweis liefert zugleich ein Verfahren zur praktischen Berechnung der Determinante. Sei \(\displaystyle r\) die Anzahl der elementaren Spaltenumformungen vom Typ S3 und \(\displaystyle \lambda_1,\dots,\lambda_s\in K^*\) die bei den Transformationen vom Typ S2 auftretenden Faktoren. Dann gilt nach Satz 16MP und wegen \(\displaystyle \det E=1\): \(\displaystyle \det{A}=(-1)^r\lambda_1\cdot \dots\cdot \lambda_s \).

Existenz

Folgt direkt aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz. \(\displaystyle \qed\)

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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