Eigenschaften der Determinante

Satz 16N5 (Determinante von Dreiecksmatrizen)

Sei A∈Mat(n,K)A\in\Mat(n,K) eine obere Dreiecksmatrix der Form
(a11a12… a1n0⋱⋱⋮⋮⋱⋱an−1,n0…0 ann)\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12} &\dots& \, a_{1n} \\ 0 &\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots & \ddots&\ddots&a_{n-1,n}\\0&\dots&0&\, a_{nn} \end{pmatrix}.
Dann ist ihre Determinante das Produkt der Elemente auf der Diagonalen.
det⁡A=a11⋅a22⋅⋯⋅ann\det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot \dots \cdot a_{nn}=∏k=1nakk =\prod\limits_{k=1}^na_{kk}.
Insbesondere gilt dies für Diagonalmatrizen.
 
 

Beweis

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über die Dimension und Anwendungen des Laplaceschen Entwicklungssatzes. Induktionsanfang: klar, da Matrizen mit Körperelementen übereinstimmen. Induktionsschritt: Sei die Behauptung für n−1n-1 richtig. Wir entwickeln nach der ersten Zeile. det⁡(A)=∑j=1n(−1)1+ja1jdet⁡(A1j) \det(A)=\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j}) =a11det⁡(A11)+∑j=2n(−1)1+ja1jdet⁡(A1j)=a_{11}\det(A_{11})+\sum\limits_{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j}) .
Für j>1j>1 enthalten ist die erste Spalte der A1jA_{1j} Untermatrizen eine Nullspalte, nach Satz 16MP gilt daher det⁡(A1j)=0\det (A_{1j})=0. Also det⁡(A)=a11det⁡(A11) \det(A)=a_{11}\det(A_{11}) und nach Induktionsvoraussetzung ist det⁡(A11)=∏k=2nakk\det(A_{11})=\prod\limits_{k=2}^na_{kk}, woraus die Behauptung folgt. □\qed

Folgerung 16NT

Sei n≥2n\ge2 und AA eine quadratische Matrix der Form A=(A1∣∗0∣A2) A=\left(\begin{matrix} A_1&| & * \\ \hline 0 & |& A_2 \end{matrix}\right) mit Teilmatrizen A1A_1 und A2A_2. Dann gilt det⁡A=det⁡A1⋅det⁡A2  \det A=\det A_1\cdot\det A_2\,

Beweis

Folgt aus Satz 16N5, indem man A1A_1 und A2A_2 mit den Gaußsche Eliminationsverfahren in eine obere Dreiecksmatrix umwandelt. □\qed

Satz 16N6 (Determinante und Invertierbarkeit)

Sei A∈Mat(n,K)A\in\Mat(n,K) eine Matrix. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. AA ist invertierbar
  2. det⁡A!=0\det A!=0
  3. rang⁡A=n\rang A=n.
Die invertierbaren Matrizen sind also genau die Matrizen mit von Null verschiedener Determinante.

Beweis

(i)   ⟺  \iff (iii) wurde in Satz 16B9 bewiesen. (i)   ⟹  \implies (ii): Ist rang⁡A=n\rang A=n, so kann AA durch den Gaußschen Algorithmus in eine obere Dreiecksmatrix umgeformt werden, wobei die Hauptdiagonale nur von Null verschiedene Elemente enthält. Nach Satz 16N5 ist dann det⁡A!=0\det A!=0.
(ii)   ⟹  \implies (i): Die Behauptung ist logisch äquivalent zu rang⁡A<n   ⟹   det⁡A=0\rang A<n\, \implies \, \det A=0, was aus Satz 16MP folgt. □\qed

Satz 16NB (Multiplikationssatz für Determinanten)

Seien A,B∈Mat(n,K)A,B\in \Mat(n,K), dann gilt
det⁡(AB)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(AB)=\det (A)\cdot\det (B).
Ist AA invertierbar, so gilt insbesondere
det⁡A−1=(det⁡A)−1\det A^\me=(\det A)^\me.
In der Sprache der Gruppen ist die Determinante ein Gruppenhomomorphismus der generellen linearen Gruppe GL⁡(n,K)\plain{GL} (n,K) in die multiplikative Gruppe K∗=K∖{0}K^*=K\setminus\{0\}.

Beweis

Ist rang⁡A<n\rang A<n, so gilt nach Satz 16N6 det⁡A=0\det A=0. Wäre nun ABAB invertierbar, so auch AA, was aber rang⁡A=n\rang A=n bedeutet. Daher ist rang⁡AB<n\rang AB<n. Mit Satz 16N6 gilt dann 0=det⁡AB=det⁡A⎵=0⋅det⁡B0=\det AB=\underbrace{\det A}_{=0}\cdot \det B.
Sei nun rang⁡A=n\rang A=n also nach Satz 16N6 det⁡A!=0\det A!=0. Wir definieren die folgende Abbildung
a:Mat(n,K)→K\mathfrak a:\Mat(n,K)\to K mit B↦1det⁡A⋅det⁡(AB)B\mapto \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AB).
Wir zeigen, dass a\mathfrak a eine Determinantenfunktion ist. Nach Satz 16N2 gilt damit a(B)=det⁡B=1det⁡A⋅det⁡(AB)\mathfrak a(B)=\det B= \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AB) und die Behauptung folgt.
Sei B=(v1,…,vi,…,vn)B=(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n) und C=(v1,…,vi+vj,…,vn)C=(v_1,\dots,v_i+v_j,\dots,v_n). Für i!=ji!=j gilt a(C)=1det⁡A⋅det⁡(AC)\mathfrak a(C) =\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AC) =1det⁡A⋅det⁡(Av1,…,Avi+Avj,…,Avn)=\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,Av_i+Av_j,\dots,Av_n) =1det⁡A⋅det⁡(Av1,…,Avi,…,Avn)= \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,Av_i,\dots,Av_n) (da det⁡\det scherungsinvariant) =1det⁡A⋅det⁡(A⋅B)= \dfrac 1 {\det A}\cdot \det (A\cdot B) =a(B)=\mathfrak a(B). Damit ist die Scherungsinvarianz von a\mathfrak a gezeigt. a\mathfrak a ist homogen: a(v1,…,λvi,…,vn)\mathfrak a (v_1,\dots,\lambda v_i,\dots,v_n) =1det⁡A⋅det⁡(Av1,…,Aλvi,…,Avn)= \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,A\lambda v_i,\dots,Av_n) =λdet⁡A⋅det⁡(Av1,…,Avi,…,Avn)=\dfrac \lambda {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,Av_i,\dots,Av_n) =λdet⁡A⋅det⁡(A⋅B)=\dfrac \lambda {\det A}\cdot \det (A\cdot B) =λa=\lambda \mathfrak a.
a(E)=1det⁡A⋅det⁡(AE)\mathfrak a(E)=\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AE) =1det⁡A⋅det⁡(A)=1=\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(A)=1. □\qed

Satz 16NC (Determinante der transponierten Matrix)

Sei A∈Mat(n,K)A\in\Mat(n,K), dann gilt
det⁡A=det⁡At\det A=\det A^t.
Da Zeilen und Spalten ihre Rollen beim Transponieren vertauschen, gilt der Laplacesche Entwicklungssatz auch in einer Spaltenversion:
det⁡A=∑i=1n(−1)i+jaijdet⁡Aij \det{A}=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}} .

Beweisskizze

Für rang⁡A<n\rang A<n schließt man wegen der Äquivalenz von Zeilenrang und Spaltenrang (Satz 16BA und Satz 16N6) sofort det⁡A=det⁡At=0\det A=\det A^t=0.
Für rang⁡A=n\rang A=n zeigt man, dass a:Mat(n,K)→K\mathfrak a: \Mat(n,K)\to K mit a(A)=det⁡At\mathfrak a(A)=\det A^t eine Determinantenfunktion ist und damit det⁡A=a(A)=det⁡At\det A=\mathfrak a(A)=\det A^t gilt. □\qed

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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