Eigenschaften der Determinante

Satz 16N5 (Determinante von Dreiecksmatrizen)

Sei \(\displaystyle A\in\Mat(n,K)\) eine obere Dreiecksmatrix der Form
\(\displaystyle \begin{pmatrix}a_{11}& a_{12} &\dots& \, a_{1n} \\ 0 &\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots & \ddots&\ddots&a_{n-1,n}\\0&\dots&0&\, a_{nn} \end{pmatrix}\).
Dann ist ihre Determinante das Produkt der Elemente auf der Diagonalen.
\(\displaystyle \det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot \dots \cdot a_{nn}\)\(\displaystyle =\prod\limits_{k=1}^na_{kk}\).
Insbesondere gilt dies für Diagonalmatrizen.
 
 

Beweis

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über die Dimension und Anwendungen des Laplaceschen Entwicklungssatzes.Induktionsanfang: klar, da Matrizen mit Körperelementen übereinstimmen.Induktionsschritt: Sei die Behauptung für \(\displaystyle n-1\) richtig. Wir entwickeln nach der ersten Zeile. \(\displaystyle \det(A)=\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j}) \) \(\displaystyle =a_{11}\det(A_{11})+\sum\limits_{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j}) \).
Für \(\displaystyle j>1\) enthalten ist die erste Spalte der \(\displaystyle A_{1j}\) Untermatrizen eine Nullspalte, nach Satz 16MP gilt daher \(\displaystyle \det (A_{1j})=0\). Also \(\displaystyle \det(A)=a_{11}\det(A_{11})\) und nach Induktionsvoraussetzung ist \(\displaystyle \det(A_{11})=\prod\limits_{k=2}^na_{kk}\), woraus die Behauptung folgt. \(\displaystyle \qed\)

Folgerung 16NT

Sei \(\displaystyle n\ge2\) und \(\displaystyle A\) eine quadratische Matrix der Form \(\displaystyle A=\left(\begin{matrix} A_1&| & * \\ \hline 0 & |& A_2 \end{matrix}\right) \) mit Teilmatrizen \(\displaystyle A_1\) und \(\displaystyle A_2\). Dann gilt \(\displaystyle \det A=\det A_1\cdot\det A_2\, \)

Beweis

Folgt aus Satz 16N5, indem man \(\displaystyle A_1\) und \(\displaystyle A_2\) mit den Gaußsche Eliminationsverfahren in eine obere Dreiecksmatrix umwandelt. \(\displaystyle \qed\)

Satz 16N6 (Determinante und Invertierbarkeit)

Sei \(\displaystyle A\in\Mat(n,K)\) eine Matrix. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. \(\displaystyle A\) ist invertierbar
  2. \(\displaystyle \det A!=0\)
  3. \(\displaystyle \rang A=n\).
Die invertierbaren Matrizen sind also genau die Matrizen mit von Null verschiedener Determinante.

Beweis

(i) \(\displaystyle \iff\) (iii) wurde in Satz 16B9 bewiesen.(i) \(\displaystyle \implies\) (ii): Ist \(\displaystyle \rang A=n\), so kann \(\displaystyle A\) durch den Gaußschen Algorithmus in eine obere Dreiecksmatrix umgeformt werden, wobei die Hauptdiagonale nur von Null verschiedene Elemente enthält. Nach Satz 16N5 ist dann \(\displaystyle \det A!=0\).
(ii) \(\displaystyle \implies\) (i): Die Behauptung ist logisch äquivalent zu \(\displaystyle \rang A<n\, \implies \, \det A=0\), was aus Satz 16MP folgt. \(\displaystyle \qed\)

Satz 16NB (Multiplikationssatz für Determinanten)

Seien \(\displaystyle A,B\in \Mat(n,K)\), dann gilt
\(\displaystyle \det(AB)=\det (A)\cdot\det (B)\).
Ist \(\displaystyle A\) invertierbar, so gilt insbesondere
\(\displaystyle \det A^\me=(\det A)^\me\).
In der Sprache der Gruppen ist die Determinante ein Gruppenhomomorphismus der generellen linearen Gruppe \(\displaystyle \plain{GL} (n,K)\) in die multiplikative Gruppe \(\displaystyle K^*=K\setminus\{0\}\).

Beweis

Ist \(\displaystyle \rang A<n\), so gilt nach Satz 16N6 \(\displaystyle \det A=0\). Wäre nun \(\displaystyle AB\) invertierbar, so auch \(\displaystyle A\), was aber \(\displaystyle \rang A=n\) bedeutet. Daher ist \(\displaystyle \rang AB<n\).Mit Satz 16N6 gilt dann \(\displaystyle 0=\det AB=\underbrace{\det A}_{=0}\cdot \det B\).
Sei nun \(\displaystyle \rang A=n\) also nach Satz 16N6 \(\displaystyle \det A!=0\). Wir definieren die folgende Abbildung
\(\displaystyle \mathfrak a:\Mat(n,K)\to K\) mit \(\displaystyle B\mapto \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AB)\).
Wir zeigen, dass \(\displaystyle \mathfrak a\) eine Determinantenfunktion ist. Nach Satz 16N2 gilt damit \(\displaystyle \mathfrak a(B)=\det B= \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AB) \) und die Behauptung folgt.
Sei \(\displaystyle B=(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)\) und \(\displaystyle C=(v_1,\dots,v_i+v_j,\dots,v_n)\). Für \(\displaystyle i!=j\) gilt \(\displaystyle \mathfrak a(C) =\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AC)\) \(\displaystyle =\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,Av_i+Av_j,\dots,Av_n)\) \(\displaystyle = \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,Av_i,\dots,Av_n)\) (da \(\displaystyle \det\) scherungsinvariant) \(\displaystyle = \dfrac 1 {\det A}\cdot \det (A\cdot B)\) \(\displaystyle =\mathfrak a(B)\). Damit ist die Scherungsinvarianz von \(\displaystyle \mathfrak a\) gezeigt. \(\displaystyle \mathfrak a\) ist homogen: \(\displaystyle \mathfrak a (v_1,\dots,\lambda v_i,\dots,v_n)\) \(\displaystyle = \dfrac 1 {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,A\lambda v_i,\dots,Av_n)\) \(\displaystyle =\dfrac \lambda {\det A}\cdot \det(Av_1,\dots,Av_i,\dots,Av_n)\) \(\displaystyle =\dfrac \lambda {\det A}\cdot \det (A\cdot B)\) \(\displaystyle =\lambda \mathfrak a\).
\(\displaystyle \mathfrak a(E)=\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(AE)\) \(\displaystyle =\dfrac 1 {\det A}\cdot \det(A)=1\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 16NC (Determinante der transponierten Matrix)

Sei \(\displaystyle A\in\Mat(n,K)\), dann gilt
\(\displaystyle \det A=\det A^t\).
Da Zeilen und Spalten ihre Rollen beim Transponieren vertauschen, gilt der Laplacesche Entwicklungssatz auch in einer Spaltenversion:
\(\displaystyle \det{A}=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}} \).

Beweisskizze

Für \(\displaystyle \rang A<n\) schließt man wegen der Äquivalenz von Zeilenrang und Spaltenrang (Satz 16BA und Satz 16N6) sofort \(\displaystyle \det A=\det A^t=0\).
Für \(\displaystyle \rang A=n\) zeigt man, dass \(\displaystyle \mathfrak a: \Mat(n,K)\to K\) mit \(\displaystyle \mathfrak a(A)=\det A^t\) eine Determinantenfunktion ist und damit \(\displaystyle \det A=\mathfrak a(A)=\det A^t\) gilt. \(\displaystyle \qed\)

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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