Alternierende Formen

Sei \(\displaystyle V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\) mit \(\displaystyle \dim V=n\). Eine alternierende \(\displaystyle n\)-Form ist eine Abbildung \(\displaystyle \mathfrak a:\underbrace{V\times \dots\times V}_{n}\rightarrow K \) mit folgenden Eigenschaften:
  1. Homogenität
    \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},\lambda v_i,v_{i+1},\dots,v_n)\)\(\displaystyle =\lambda\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)\ \) \(\displaystyle \forall \lambda\in K,\, \forall i=1\dots n\)
  2. Scherungsinvarianz
    \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},v_i+v_j,v_{i+1},\dots,v_n)\)\(\displaystyle =\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)\ \) \(\displaystyle \forall i\neq j\)
 
 

Motivation der Definition

Je \(\displaystyle n\) Vektoren \(\displaystyle v_1,\dots,v_n\in \mathbb{R}^n\) spannen einen Spat \(\displaystyle \left\{ \sum\limits\lambda_iv_i |0\le\lambda_i\le1 \right\}\subset V \) auf. Es wird sich zeigen, dass die Determinante von \(\displaystyle (v_1,\dots,v_n)=:A\) eine alternierende \(\displaystyle n\)-Form ist, deren Wert dem (orientierten) Volumen des Spates entspricht.

Beispiel

Sei \(\displaystyle V=K^n\).

Beispiel 16N4

Für \(\displaystyle n=1\) \(\displaystyle \mathfrak{a}:K\rightarrow K\) sei \(\displaystyle \mathfrak a(\lambda):=\lambda\). Homogenität ist gegeben, denn \(\displaystyle \lambda=\lambda\cdot 1\mapsto \lambda\mathfrak{a}(1)\), (ii) ist leer. \(\displaystyle \mathfrak{a}\) ist eine (alternierende) 1-Form und eine lineare Abbildung.
\(\displaystyle n=2\): Sei \(\displaystyle \mathfrak{a}:K^2\times K^2\rightarrow K\) mit \(\displaystyle \mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right):=a_1b_2-a_2b_1 \). Diese Abbildung ist nicht linear .Homogenität: \(\displaystyle \mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} \lambda a_1\\\lambda a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right)\)\(\displaystyle =\lambda a_1b_2-\lambda a_2b_1\)\(\displaystyle =\lambda \mathfrak{a} \left( \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right) \). Ebenso für das zweite Argument.Scherungsinvarianz: \(\displaystyle \mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} a_1+b_1\\a_2+b_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right)\)\(\displaystyle =(a_1+b_1)b_2-(a_2+b_2)b_1\)\(\displaystyle =a_1b_2-a_2b_1\) \(\displaystyle =\mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right) \) Ebenso für das zweite Argument.

Satz 16MP (Eigenschaften alternierender Formen)

Sei \(\displaystyle V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\) mit \(\displaystyle \dim V=n\) und \(\displaystyle \mathfrak a:V^n\rightarrow K \) eine alternierende Form. Dann gilt:
  1. \(\displaystyle \mathfrak{a}\) ist invariant unter elementaren Spaltenumformungen vom Typ S1 und S2
    \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,v_n)=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n) \) \(\displaystyle \forall i\neq j\, \forall\lambda\in K\):
  2. Sind \(\displaystyle v_1,\dots,v_n\) linear abhängig, so gilt \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)=0\)
  3. \(\displaystyle \mathfrak{a}\) ist multilinear, d.h. für jedes fest gewählte \(\displaystyle j\in \{ 1,\dots,n \}\) und \(\displaystyle v_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n\in V\) ist die Abbildung \(\displaystyle V\rightarrow K\) mit \(\displaystyle v\,\mapsto\, \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v,v_{j+1},\dots,v_n)\) eine lineare Abbildung.
  4. Beim Vertauschen von \(\displaystyle v_i\) und \(\displaystyle v_j\) mit \(\displaystyle i\neq j\) ändert sich das Vorzeichen von \(\displaystyle \mathfrak{a}\). d.h. bei elementaren Spaltenumformungen vom Typ S3 ändert sich das Vorzeichen.

Beweis

(i): Obda sei \(\displaystyle \lambda\neq 0\), andernfalls entspricht die Behauptung der Scherungsinvarianz. \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n){=}\lambda^{-1}\mathfrak{a}(v_1,\dots,\lambda v_j,\dots,v_n)\) (wegen der Homogenität)\(\displaystyle {=}\lambda^{-1}\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,\lambda v_j,\dots,v_n)\) (wegen der Scherungsinvarianz)\(\displaystyle {=}\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,v_n) \) (wegen der Homogenität)
(ii): Seien \(\displaystyle v_1,\dots,v_n\) linear abhängig, so gibt es ein \(\displaystyle i\) für dass \(\displaystyle \alpha_i!=0\) in der Linearkombination \(\displaystyle \sum\limits_{j=1}^n\alpha_j\v_j=0\). Nach geeigneten Umformungen gilt dann \(\displaystyle v_i=\sum\limits_{j\neq i}\lambda_jv_j\), also \(\displaystyle v_i-\sum\limits_{j\neq i}\lambda_j v_j=0\), dieser Eintrag entsteht an der \(\displaystyle i\)-ten Stelle durch \(\displaystyle (n-1)\) Spaltenumformungen wie in (i).\(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n){=}\mathfrak{a}(v_1,\dots,\underbrace{v_i-\sum\limits_{j\neq i}\lambda_j v_j}_{=0=0\cdot v_i},\dots,v_n)\) (nach (i) und oben)\(\displaystyle = \mathfrak{a}(v_1,\dots,0\cdot v_i,\dots v_n)\) \(\displaystyle {=}0\cdot \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)=0 \) (Homogenität)(iii): Wegen der Homogenität gilt für \(\displaystyle j=1\dots n\): \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,\lambda v_j,\dots,v_n)\)\(\displaystyle =\lambda \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_n)\) \(\displaystyle \forall \lambda\in K\) Bleibt zu zeigen:
(1)
\(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v+v',v_{j+1},\dots,v_n)=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v,v_{j+1},\dots,v_n) \) \(\displaystyle +\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v',v_{j+1},\dots,v_n) \)
1. Fall: \(\displaystyle v_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n\) sind linear abhängig. Wegen (ii) verschwinden (=0) beide Seiten von (1).2. Fall: \(\displaystyle v_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n\) sind linear unabhängig.Nach Satz 15XA existiert \(\displaystyle v_j\in V\), so dass \(\displaystyle v_1,\dots,v_n\) eine Basis bilden, wir setzen \(\displaystyle U:=\LinHull(v_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n)\) und können \(\displaystyle v,v'\in V\) in der Form \(\displaystyle v=u+\lambda v_j\), \(\displaystyle \ v'=u'+\lambda'v_j\) mit \(\displaystyle u,u'\in U\) schreiben. Es gilt:
\(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1}, w,v_{j+1},\dots,v_n)\)\(\displaystyle =\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},w+u,v_{j+1},\dots,v_n)\) \(\displaystyle \forall w\in V,\forall u\in U\),
denn die rechte Seite geht aus der linken Seite durch elementare Spaltenumformungen hervor.
Daher gilt: \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v+v',\dots,v_n)\)\(\displaystyle =\mathfrak{a}(v_1,\dots,\underbrace{u+\lambda v_j+u'+\lambda v_j}_{=(u+u')+(\lambda+\lambda')v_j},\dots,v_n)\) \(\displaystyle {=} \mathfrak{a}(v_1,\dots,(\lambda+\lambda')v_j,\dots,v_n)\) \(\displaystyle =(\lambda+\lambda')\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n) \)
Analog zeigt man nun: \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v,\dots,v_n)=\lambda \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)\) und \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v',\dots,v_n)=\lambda'\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n) \).(iv): Zu zeigen ist: \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n)=-\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n) \). Die Vektoren \(\displaystyle v_1,\dots,v_i+v_j,\dots,v_i+v_j,\dots,v_n\) sind linear abhängig, also gilt unter zweimaliger Anwendungen von (iii)\(\displaystyle 0=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+v_j,\dots,v_i+v_j,\dots,v_n)\) \(\displaystyle {=}\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n)\) \(\displaystyle +\underbrace{\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_i,\dots,v_n)}_{=0}\) \(\displaystyle +\underbrace{\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_j,\dots,v_n)}_{=0}\) \(\displaystyle +\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n) \) \(\displaystyle \implies\) \(\displaystyle 0=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n)+\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n)\). \(\displaystyle \qed\)

Satz 16N3

Sei \(\displaystyle V\) ein \(\displaystyle n\)-dimensionaler Vektorraum und \(\displaystyle \mathfrak{a}:V^n\rightarrow K\) multilinear. Es gelte \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)=0\), falls \(\displaystyle i\neq j\) existieren mit \(\displaystyle v_i=v_j\). Dann ist \(\displaystyle \mathfrak{a}\) eine alternierende \(\displaystyle n\)-Form.

Beweis

Die Homogenität ist ein Spezialfall der Multilinearität, daher ist hier nichts zu zeigen.Scherungsinvarianz: Sei \(\displaystyle i\neq j\) und obdA. \(\displaystyle i<j\): Wegen der Multilinearität gilt \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},v_{i}+v_j,v_{i+1},\dots,v_n)\) \(\displaystyle {=} \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)\) \(\displaystyle + \mathfrak{a}{(v_1,\dots,v_{i-1},v_j,v_{i+1},\dots,v_j,\dots,v_n)}\). Der zweite Summand ist nach Voraussetzung \(\displaystyle 0\), also \(\displaystyle \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},v_{i}+v_j,v_{i+1},\dots,v_n)\) \(\displaystyle {=} \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n)\) \(\displaystyle \qed\)

Strukturen sind die Waffen der Mathematiker.

N. Bourbaki

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