Alternierende Formen

Sei VV ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper KK mit dim⁡V=n\dim V=n. Eine alternierende nn-Form ist eine Abbildung a:V×⋯×V⎵n→K \mathfrak a:\underbrace{V\times \dots\times V}_{n}\rightarrow K mit folgenden Eigenschaften:
  1. Homogenität
    a(v1,…,vi−1,λvi,vi+1,…,vn)\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},\lambda v_i,v_{i+1},\dots,v_n)=λa(v1,…,vn)  =\lambda\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)\ ∀λ∈K, ∀i=1…n \forall \lambda\in K,\, \forall i=1\dots n
  2. Scherungsinvarianz
    a(v1,…,vi−1,vi+vj,vi+1,…,vn)\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},v_i+v_j,v_{i+1},\dots,v_n)=a(v1,…,vn)  =\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)\ ∀i≠j \forall i\neq j

Motivation der Definition

Je nn Vektoren v1,…,vn∈Rnv_1,\dots,v_n\in \mathbb{R}^n spannen einen Spat {∑λivi∣0≤λi≤1}⊂V \left\{ \sum\limits\lambda_iv_i |0\le\lambda_i\le1 \right\}\subset V auf. Es wird sich zeigen, dass die Determinante von (v1,…,vn)=:A(v_1,\dots,v_n)=:A eine alternierende nn-Form ist, deren Wert dem (orientierten) Volumen des Spates entspricht.

Beispiel

Sei V=KnV=K^n.

Beispiel 16N4

Für n=1n=1 a:K→K\mathfrak{a}:K\rightarrow K sei a(λ):=λ\mathfrak a(\lambda):=\lambda. Homogenität ist gegeben, denn λ=λ⋅1↦λa(1)\lambda=\lambda\cdot 1\mapsto \lambda\mathfrak{a}(1), (ii) ist leer. a\mathfrak{a} ist eine (alternierende) 1-Form und eine lineare Abbildung.
n=2n=2: Sei a:K2×K2→K\mathfrak{a}:K^2\times K^2\rightarrow K mit a((a1a2),(b1b2)):=a1b2−a2b1 \mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right):=a_1b_2-a_2b_1 . Diese Abbildung ist nicht linear . Homogenität: a((λa1λa2),(b1b2)) \mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} \lambda a_1\\\lambda a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right)=λa1b2−λa2b1 =\lambda a_1b_2-\lambda a_2b_1=λa((a1a2),(b1b2)) =\lambda \mathfrak{a} \left( \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right) . Ebenso für das zweite Argument. Scherungsinvarianz: a((a1+b1a2+b2),(b1b2)) \mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} a_1+b_1\\a_2+b_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right)=(a1+b1)b2−(a2+b2)b1 =(a_1+b_1)b_2-(a_2+b_2)b_1=a1b2−a2b1 =a_1b_2-a_2b_1 =a((a1a2),(b1b2))=\mathfrak{a}\left( \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix} \right) Ebenso für das zweite Argument.

Satz 16MP (Eigenschaften alternierender Formen)

Sei VV ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper KK mit dim⁡V=n\dim V=n und a:Vn→K \mathfrak a:V^n\rightarrow K eine alternierende Form. Dann gilt:
  1. a\mathfrak{a} ist invariant unter elementaren Spaltenumformungen vom Typ S1 und S2
    a(v1,…,vi+λvj,…,vn)=a(v1,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,v_n)=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n) ∀i≠j ∀λ∈K\forall i\neq j\, \forall\lambda\in K:
  2. Sind v1,…,vnv_1,\dots,v_n linear abhängig, so gilt a(v1,…,vn)=0\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)=0
  3. a\mathfrak{a} ist multilinear, d.h. für jedes fest gewählte j∈{1,…,n}j\in \{ 1,\dots,n \} und v1,…,vj−1,vj+1,…,vn∈Vv_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n\in V ist die Abbildung V→K V\rightarrow K mit v ↦ a(v1,…,vj−1,v,vj+1,…,vn)v\,\mapsto\, \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v,v_{j+1},\dots,v_n) eine lineare Abbildung.
  4. Beim Vertauschen von viv_i und vj v_j mit i≠ji\neq j ändert sich das Vorzeichen von a\mathfrak{a}. d.h. bei elementaren Spaltenumformungen vom Typ S3 ändert sich das Vorzeichen.

Beweis

(i): Obda sei λ≠0\lambda\neq 0, andernfalls entspricht die Behauptung der Scherungsinvarianz. a(v1,…,vn)=λ−1a(v1,…,λvj,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n){=}\lambda^{-1}\mathfrak{a}(v_1,\dots,\lambda v_j,\dots,v_n) (wegen der Homogenität) =λ−1a(v1,…,vi+λvj,…,λvj,…,vn){=}\lambda^{-1}\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,\lambda v_j,\dots,v_n) (wegen der Scherungsinvarianz) =a(v1,…,vi+λvj,…,vn){=}\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,v_n) (wegen der Homogenität)
(ii): Seien v1,…,vnv_1,\dots,v_n linear abhängig, so gibt es ein ii für dass αi!=0\alpha_i!=0 in der Linearkombination ∑j=1nαjvj=0\sum\limits_{j=1}^n\alpha_j v_j=0. Nach geeigneten Umformungen gilt dann vi=∑j≠iλjvjv_i=\sum\limits_{j\neq i}\lambda_jv_j, also vi−∑j≠iλjvj=0v_i-\sum\limits_{j\neq i}\lambda_j v_j=0, dieser Eintrag entsteht an der ii-ten Stelle durch (n−1)(n-1) Spaltenumformungen wie in (i). a(v1,…,vn)=a(v1,…,vi−∑j≠iλjvj⎵=0=0⋅vi,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n){=}\mathfrak{a}(v_1,\dots,\underbrace{v_i-\sum\limits_{j\neq i}\lambda_j v_j}_{=0=0\cdot v_i},\dots,v_n) (nach (i) und oben) =a(v1,…,0⋅vi,…vn)= \mathfrak{a}(v_1,\dots,0\cdot v_i,\dots v_n) =0⋅a(v1,…,vn)=0 {=}0\cdot \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)=0 (Homogenität) (iii): Wegen der Homogenität gilt für j=1…nj=1\dots n: a(v1,…,λvj,…,vn)\mathfrak{a}(v_1,\dots,\lambda v_j,\dots,v_n)=λa(v1,…,vj,…,vn) =\lambda \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_n) ∀λ∈K\forall \lambda\in K Bleibt zu zeigen:
a(v1,…,vj−1,v+v′,vj+1,…,vn)=a(v1,…,vj−1,v,vj+1,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v+v',v_{j+1},\dots,v_n)=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v,v_{j+1},\dots,v_n) +a(v1,…,vj−1,v′,vj+1,…,vn)+\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},v',v_{j+1},\dots,v_n) (1)
1. Fall: v1,…,vj−1,vj+1,…,vnv_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n sind linear abhängig. Wegen (ii) verschwinden (=0) beide Seiten von (1). 2. Fall: v1,…,vj−1,vj+1,…,vnv_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n sind linear unabhängig. Nach Satz 15XA existiert vj∈Vv_j\in V, so dass v1,…,vnv_1,\dots,v_n eine Basis bilden, wir setzen U:=L(v1,…,vj−1,vj+1,…,vn)U:=\LinHull(v_1,\dots,v_{j-1},v_{j+1},\dots,v_n) und können v,v′∈Vv,v'\in V in der Form v=u+λvjv=u+\lambda v_j,  v′=u′+λ′vj \ v'=u'+\lambda'v_j mit u,u′∈Uu,u'\in U schreiben. Es gilt:
a(v1,…,vj−1,w,vj+1,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1}, w,v_{j+1},\dots,v_n)=a(v1,…,vj−1,w+u,vj+1,…,vn) =\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{j-1},w+u,v_{j+1},\dots,v_n) ∀w∈V,∀u∈U \forall w\in V,\forall u\in U,
denn die rechte Seite geht aus der linken Seite durch elementare Spaltenumformungen hervor.
Daher gilt: a(v1,…,v+v′,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v+v',\dots,v_n)=a(v1,…,u+λvj+u′+λvj⎵=(u+u′)+(λ+λ′)vj,…,vn) =\mathfrak{a}(v_1,\dots,\underbrace{u+\lambda v_j+u'+\lambda v_j}_{=(u+u')+(\lambda+\lambda')v_j},\dots,v_n) =a(v1,…,(λ+λ′)vj,…,vn) {=} \mathfrak{a}(v_1,\dots,(\lambda+\lambda')v_j,\dots,v_n) =(λ+λ′)a(v1,…,vn)=(\lambda+\lambda')\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)
Analog zeigt man nun: a(v1,…,v,…,vn)=λa(v1,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v,\dots,v_n)=\lambda \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n) und a(v1,…,v′,…,vn)=λ′a(v1,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v',\dots,v_n)=\lambda'\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n) . (iv): Zu zeigen ist: a(v1,…,vi,…,vj,…,vn)=−a(v1,…,vj,…,vi,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n)=-\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n) . Die Vektoren v1,…,vi+vj,…,vi+vj,…,vnv_1,\dots,v_i+v_j,\dots,v_i+v_j,\dots,v_n sind linear abhängig, also gilt unter zweimaliger Anwendungen von (iii) 0=a(v1,…,vi+vj,…,vi+vj,…,vn) 0=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i+v_j,\dots,v_i+v_j,\dots,v_n) =a(v1,…,vi,…,vj,…,vn) {=}\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n) +a(v1,…,vi,…,vi,…,vn)⎵=0 +\underbrace{\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_i,\dots,v_n)}_{=0} +a(v1,…,vj,…,vj,…,vn)⎵=0 +\underbrace{\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_j,\dots,v_n)}_{=0} +a(v1,…,vj,…,vi,…,vn) +\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n)   ⟹  \implies 0=a(v1,…,vi,…,vj,…,vn)+a(v1,…,vj,…,vi,…,vn)0=\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n)+\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n). □\qed

Satz 16N3

Sei VV ein nn-dimensionaler Vektorraum und a:Vn→K\mathfrak{a}:V^n\rightarrow K multilinear. Es gelte a(v1,…,vn)=0\mathfrak{a}(v_1,\dots,v_n)=0, falls i≠ji\neq j existieren mit vi=vjv_i=v_j. Dann ist a\mathfrak{a} eine alternierende nn-Form.

Beweis

Die Homogenität ist ein Spezialfall der Multilinearität, daher ist hier nichts zu zeigen. Scherungsinvarianz: Sei i≠ji\neq j und obdA. i<ji<j: Wegen der Multilinearität gilt a(v1,…,vi−1,vi+vj,vi+1,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},v_{i}+v_j,v_{i+1},\dots,v_n) =a(v1,…,vi,…,vn) {=} \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n) +a(v1,…,vi−1,vj,vi+1,…,vj,…,vn)+ \mathfrak{a}{(v_1,\dots,v_{i-1},v_j,v_{i+1},\dots,v_j,\dots,v_n)}. Der zweite Summand ist nach Voraussetzung 00, also a(v1,…,vi−1,vi+vj,vi+1,…,vn) \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_{i-1},v_{i}+v_j,v_{i+1},\dots,v_n) =a(v1,…,vi,…,vn) {=} \mathfrak{a}(v_1,\dots,v_i,\dots,v_n) □\qed
 
 

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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