Lineare Gleichungssysteme

Ein System von \(\displaystyle m\) linearen Gleichungen der Form
\(\displaystyle \array{{a_{11}x_1}{+\dots+}{a_{1n}x_n}&= &b_1 \\ \vdots& \, \vdots& \, \vdots\\ {a_{m1}x_1}{+\dots+}{a_{mn}x_n}&=& b_m }\)
heißt lineares Gleichungssystem. Die \(\displaystyle x_k\) sind dabei die Unbekannten und die \(\displaystyle a_{ij}\) bekannte Größen. Diese Werte stammen im Allgemeinen aus einem beliebigen Körper \(\displaystyle K\).
Bildet man aus den \(\displaystyle a_{ij}\) eine Matrix \(\displaystyle A=(a_{ij})\) und setzt \(\displaystyle b=\pmatrix{b_1\\ \vdots\\ b_m}\) und \(\displaystyle x=\pmatrix{x_1\\ \vdots\\ x_n}\), so kann man nach Definition der Matrizenmultiplikation das lineare Gleichungssystem als \(\displaystyle Ax=b\) schreiben, muss aber im Kopf behalten, dass es sich bei dieser Gleichung nicht um eine Gleichung zwischen Zahlen handelt sondern Matrizen und Vektoren beteiligt sind.
Gilt \(\displaystyle b=0\), verschwindet also die rechte Seite, so spricht man von einem homogenen linearen Gleichungssystem. Für ein solches System ist der Nullvektor \(\displaystyle x=0\) stets eine Lösung. Ganz allgemein ist jeder Vektor aus dem Kern der Standardabbildung von \(\displaystyle A\) Lösung des homogenen Systems.
 
 

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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