Matrizen

Vereinfacht gesprochen handelt es sich bei einer Matrix um ein rechteckiges Zahlenschema.
Für einen Körper \(\displaystyle K\) verstehen wir unter einer \(\displaystyle m\cross n\) Matrix über dem Körper \(\displaystyle K\) das folgende aus \(\displaystyle m\) Zeilen und \(\displaystyle n\) Spalten bestehende Zahlenschema mit Werten aus \(\displaystyle K\):
\(\displaystyle \pmatrix { a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots& \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots &a_{mn} }\)
In Kurzschreibweise \(\displaystyle \nohtml {(a_{ij})}_{ {i=1}\, {j=1}}^{m\, \, \, \, \, n}\) oder noch kürzer \(\displaystyle (a_{ij})\).
Die Zeilen der Matrix bestehen aus den waagerecht geschriebenen \(\displaystyle n\)-Tupel der Form \(\displaystyle (a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in})\) für die \(\displaystyle i\)-te Zeile.
Die Spalten der Matrix bestehen aus den senkrecht geschriebenen \(\displaystyle m\)-Tupeln der Form \(\displaystyle \pmatrix{ a_{1j} \\a_{2j} \\ \vdots \\a_{mj} }\)
Besitzt eine Matrix die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, so heißt die Matrix quadratisch. Die Werte der Matrix, deren Zeilen- und Spaltenindex übereinstimmen, also \(\displaystyle a_{11},\) \(\displaystyle a_{22},\ldots,a_{nn}\) bilden die Hauptdiagonale (kurz: Diagonale) der Matrix.
Besitzt die Matrix nur eine Zeile oder eine Spalte, so spricht man von einem Zeilenvektor bzw. einem Spaltenvektor.
Mit \(\displaystyle \Mat (m\cross n, K)\) bezeichnen wir die Menge aller \(\displaystyle m\cross n\)-Matrizen mit Elementen aus \(\displaystyle K\). Für die Bezeichnung von Matrizen werden in der Regel Großbuchstaben wie \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) verwendet.
 
 

Beispiel

\(\displaystyle \pmatrix {{1\, 2} \\{ 3\, 4}}\) ist eine Matrix aus \(\displaystyle \Mat(2\cross 2, \domQ)\) bzw. \(\displaystyle \Mat (2\cross 2, \domR)\).

Obere und untere Dreiecksmatrizen

Eine quadratische Matrix der Form \(\displaystyle \begin{pmatrix}a_{11}& a_{12} &\dots& \, a_{1n} \\ 0 &\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots & \ddots&\ddots&a_{n-1,n}\\0&\dots&0&\, a_{nn} \end{pmatrix}\) heißt obere Dreiecksmatrix.
Ebenso heißt eine quadratische Matrix der Gestalt \(\displaystyle \begin{pmatrix}a_{11}& 0 &\dots& \, 0 \\ a_{21} &\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots & \ddots&\ddots& 0\\ a_{n1}&\dots&a_{n,n-1}&\, a_{nn} \end{pmatrix}\) untere Dreiecksmatrix.

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Stephen Hawking

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