Permutationsmatrizen

Für die Permutation \(\displaystyle \sigma\in \bm S_n\) ist die Permutationsmatrix \(\displaystyle P_\sigma\in \Mat(n\times n,K)\) wie folgt definiert
\(\displaystyle P_\sigma=\left( e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)} \right)=\left( \delta_{i\sigma(j)} \right)_{i,j}\)
(dabei ist \(\displaystyle \delta\) das Kronecker-Symbol und \(\displaystyle e_j\) der \(\displaystyle j\)-te kanonische Einheitsvektor).

Beispiele

\(\displaystyle \sigma=(1\ 2)(3\ 4)\) \(\displaystyle P_\sigma= \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{pmatrix} \)\(\displaystyle \sigma=(1\ 2\ 3\ 4)\) \(\displaystyle P_\sigma= \begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \end{pmatrix} \)
 
 

Bemerkung

Die Hintereinanderausführung von Permutationen entspricht der Matrizenmultiplikation; für \(\displaystyle \sigma,\tau\in \bm S_n\) gilt \(\displaystyle P_\sigma\cdot P_{\tau}=P_{\sigma\circ\tau}\).Insbesondere sind Permutationsmatrizen invertierbar, also \(\displaystyle P_{\sigma}\in \operatorname{GL}(n,K)\) und die Abbildung \(\displaystyle \rho\) mit \(\displaystyle \sigma\mapsto P_\sigma\) ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus zwischen der symmetrischen Gruppe und der generellen linearen Gruppe \(\displaystyle \rho:\bm S_n\rightarrow \operatorname{GL}(n,K)\).

Bemerkung (Permutationsmatrizen und Determinanten)

Die Multiplikationsformel für Determinanten liefert: \(\displaystyle \sgn(\sigma\tau)=\det(P_{\sigma\tau})\)\(\displaystyle =\det(P_{\sigma}\cdot P_{\tau})\)\(\displaystyle =\det(P_\sigma)\cdot \det(P_\tau)\)\(\displaystyle =\sgn(\sigma)\cdot \sgn(\tau) \).

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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