Äquivalente Matrizen

Zwei Matrizen \(\displaystyle A\), \(\displaystyle A' \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}})\) heissen äquivalent, in Zeichen \(\displaystyle A \sim A'\), wenn reguläre Matrizen \(\displaystyle S \in \Mat(m\cross m,{\mathbb{K}})\) und \(\displaystyle T\in \Mat(n\cross n,{\mathbb{K}})\) existieren mit \(\displaystyle A' = SAT^{-1}\).

Bemerkung

Dies ist wirklich eine mengentheoretische Äquivalenzrelation: \(\displaystyle A \sim A\) , denn \(\displaystyle A = E \cdot A \cdot E^{-1}\). \(\displaystyle A \sim A' \Rightarrow A' = SAT^{-1} \Rightarrow A = S^{-1} A' T = (S^{-1}) A' (T^{-1})^{-1} \Rightarrow A' \sim A\). \(\displaystyle A \sim A'\), \(\displaystyle A' \sim A \Rightarrow A' = SAT^{-1}\), \(\displaystyle A = S'A'T^{\prime -1} \Rightarrow A = S'SAT^{-1}T^{\prime -1} = (SS') \cdot A \cdot (T'\cdot T)^{-1} \Rightarrow A \sim A\).
Äquivalente Matrizen können nach Satz 16B1 aufgefasst werden als Darstellungsmatrizen derselben linearen Abbildung \(\displaystyle f\) bei nur anders gewählten Basen. Gesucht sind jetzt möglichst einfache Repräsentanten in den Äquivalenzklassen bezüglich obiger Äquivalenzrelation.
 
 

Satz 816F

Für eine Matrix \(\displaystyle A \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}})\) mit \(\displaystyle \rang A = r\) (\(\displaystyle \le \min(m,n)\)) gilt
\(\displaystyle A \sim D_r = \pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}\)
Diese Matrix \(\displaystyle D_r\) ist gerade die Normalform der durch \(\displaystyle A\) bestimmten Äquivalenzklasse.

Beweis

Folgt direkt aus Satz 16B5. \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung

Die Transformationsmatrizen \(\displaystyle S\), \(\displaystyle T\) sind nicht eindeutig bestimmt. Es kann immer \(\displaystyle T^{-1} = (b_1,\dots,b_n)\), \(\displaystyle S^{-1} = (\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_m)\) gewählt werden, denn\(\displaystyle \forall_{i=1}^n\, A \cdot T^{-1} \cdot e_i = A \cdot b_1 = \begin{cases} \overline{b}_i & \text{für } i=1,\dots,r \\ 0 & \text{für } i=r+1,\dots,n \end{cases}\) und\(\displaystyle \forall_{i=1}^n\, S^{-1}D_re_i = \begin{cases} S^{-1}e_i & \text{für } i=1,\dots,r \\ S^{-1}\cdot 0 & \text{für } i=r+1,\dots,n \end{cases} = \begin{cases} \overline{b}_i & \text{für } i=1,\dots,r \\ 0 & \text{für } i=r+1,\dots,n \end{cases}\)\(\displaystyle \Rightarrow A \cdot T^{-1} = S^{-1} \cdot D_r \iff SAT^{-1} = D_r\)

Satz 816G

Für Matrizen \(\displaystyle A \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}})\) gilt: \(\displaystyle A \sim A' \iff \rang A = \rang A'\) (je zwei Matrizen mit dem gleichen Rang sind äquivalent)Die Äquivalenzklasse einer Matrix \(\displaystyle A \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}})\) wird allein durch ihren Rang \(\displaystyle r \in \{ 0,\dots,\min(m,n) \}\) bestimmt.

Beweis

Mit Satz 816F gilt: \(\displaystyle \rang A = \rang A' = r \iff A \sim D_r \sim A' \iff A \sim A'\) \(\displaystyle \qed\)

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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