Äquivalente Matrizen

Zwei Matrizen AA, A′∈Mat(m×n,K)A' \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}}) heissen äquivalent, in Zeichen A∼A′A \sim A', wenn reguläre Matrizen S∈Mat(m×m,K)S \in \Mat(m\cross m,{\mathbb{K}}) und T∈Mat(n×n,K)T\in \Mat(n\cross n,{\mathbb{K}}) existieren mit A′=SAT−1A' = SAT^{-1}.

Bemerkung

Dies ist wirklich eine mengentheoretische Äquivalenzrelation: A∼AA \sim A , denn A=E⋅A⋅E−1A = E \cdot A \cdot E^{-1}. A∼A′⇒A′=SAT−1⇒A=S−1A′T=(S−1)A′(T−1)−1⇒A′∼AA \sim A' \Rightarrow A' = SAT^{-1} \Rightarrow A = S^{-1} A' T = (S^{-1}) A' (T^{-1})^{-1} \Rightarrow A' \sim A. A∼A′A \sim A', A′∼A′′⇒A′=SAT−1A' \sim A'' \Rightarrow A' = SAT^{-1}, A′′=S′A′T′−1⇒A′′=S′SAT−1T′−1=(SS′)⋅A⋅(T′⋅T)−1⇒A∼A′′A'' = S'A'T^{\prime -1} \Rightarrow A'' = S'SAT^{-1}T^{\prime -1} = (SS') \cdot A \cdot (T'\cdot T)^{-1} \Rightarrow A \sim A''.
Äquivalente Matrizen können nach Satz 16B1 aufgefasst werden als Darstellungsmatrizen derselben linearen Abbildung ff bei nur anders gewählten Basen. Gesucht sind jetzt möglichst einfache Repräsentanten in den Äquivalenzklassen bezüglich obiger Äquivalenzrelation.
 
 

Satz 816F

Für eine Matrix A∈Mat(m×n,K)A \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}}) mit rang⁡A=r\rang A = r (≤min⁡(m,n)\le \min(m,n)) gilt
A∼Dr=(Er∣00∣0) A \sim D_r = \pmatrix{ {E_r}& \vert & 0\\ \hline 0 & \vert & 0}
Diese Matrix DrD_r ist gerade die Normalform der durch AA bestimmten Äquivalenzklasse.

Beweis

Folgt direkt aus Satz 16B5. □\qed

Bemerkung

Die Transformationsmatrizen SS, TT sind nicht eindeutig bestimmt. Es kann immer T−1=(b1,…,bn)T^{-1} = (b_1,\dots,b_n), S−1=(b‾1,…,b‾m)S^{-1} = (\overline{b}_1,\dots,\overline{b}_m) gewählt werden, denn ∀i=1n A⋅T−1⋅ei=A⋅b1={b‾ifu¨r i=1,…,r0fu¨r i=r+1,…,n\forall_{i=1}^n\, A \cdot T^{-1} \cdot e_i = A \cdot b_1 = \begin{cases} \overline{b}_i & \text{für } i=1,\dots,r \\ 0 & \text{für } i=r+1,\dots,n \end{cases} und ∀i=1n S−1Drei={S−1eifu¨r i=1,…,rS−1⋅0fu¨r i=r+1,…,n={b‾ifu¨r i=1,…,r0fu¨r i=r+1,…,n\forall_{i=1}^n\, S^{-1}D_re_i = \begin{cases} S^{-1}e_i & \text{für } i=1,\dots,r \\ S^{-1}\cdot 0 & \text{für } i=r+1,\dots,n \end{cases} = \begin{cases} \overline{b}_i & \text{für } i=1,\dots,r \\ 0 & \text{für } i=r+1,\dots,n \end{cases} ⇒A⋅T−1=S−1⋅Dr  ⟺  SAT−1=Dr\Rightarrow A \cdot T^{-1} = S^{-1} \cdot D_r \iff SAT^{-1} = D_r

Satz 816G

Für Matrizen A∈Mat(m×n,K)A \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}}) gilt: A∼A′  ⟺  rang⁡A=rang⁡A′A \sim A' \iff \rang A = \rang A' (je zwei Matrizen mit dem gleichen Rang sind äquivalent) Die Äquivalenzklasse einer Matrix A∈Mat(m×n,K)A \in \Mat(m\cross n,{\mathbb{K}}) wird allein durch ihren Rang r∈{0,…,min⁡(m,n)}r \in \{ 0,\dots,\min(m,n) \} bestimmt.

Beweis

Mit Satz 816F gilt: rang⁡A=rang⁡A′=r  ⟺  A∼Dr∼A′  ⟺  A∼A′\rang A = \rang A' = r \iff A \sim D_r \sim A' \iff A \sim A' □\qed

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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