Basis eines Vektorraums

Eine Teilmenge BB eines Vektorraums VV heißt Basis, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
  1. BB ist Erzeugendensystem von VV, also L(B)=V\LinHull(B)=V
  2. BB ist linear unabhängig.

Beispiele

Die leere Menge ∅\emptyset ist Basis des Nullvektorraums {0}\{0\}.
Im Vektorraum KnK^n über KK bilden die Vektoren: e1:=(1,0,0,…,0)e_1:=(1,0,0,\ldots,0), e2:=(0,1,0,…,0)e_2:=(0,1,0,\ldots,0) bis en:=(0,0,0,…,1)e_n:=(0,0,0,\ldots,1) eine Basis. Diese Vektoren heißen Einheitsvektoren.
Die Vektoren b1=(1,0,1)b_1=(1,0,1), b2=(0,1,−2)b_2= (0,1,-2) und b3=(1,0,0)b_3= (1,0,0) bilden eine Basis des R3\mathbb{R}^3. Die lineare Unabhängigkeit ist leicht nachzurechnen. Die Vektoren erzeugen R3\mathbb{R}^3, denn für (x,y,z)∈R3(x,y,z)\in\R^3 folgt aus (x,y,z)=λb1+μb2+νb3 (x,y,z){=}\lambda b_1+\mu b_2+\nu b_3 =(λ+ν,μ,λ−2μ)= (\lambda+\nu,\mu,\lambda-2\mu) μ=y \mu=y λ=2x+13z \lambda=2x+\dfrac{1}{3}z ν=x−z3 \nu=\dfrac{x-z}{3} .

Bemerkung (angeordnete Basen)

Die Basis wurde als Menge von Vektoren definiert. Oft ist es sinnvoll die Reihenfolge der Basisvektoren zur berücksichtigen, die Vektoren also anzuordnen.
Dann spricht man von einer angeordneten Basis und schreibt die Basisvektoren als Tupel.
Oft wird der Begriff Basis benutzt, obwohl eine angeordnete Basis gemeint ist, aus dem Zusammenhang erschließt sich meistens schnell die Art der benutzen Basis, sodass diese Art der Begriffsvermischung nicht problematisch ist.

Satz 15X5 (Charakterisierung der Basen)

Sei BB eine Teilmenge des Vektorraums VV. Dann sind die folgenden Aussagen paarweise äquivalent:
  1. BB ist Basis von VV
  2. BB ist eine minimales Erzeugendensystem
  3. BB ist eine maximale Teilmenge linear unabhängiger Vektoren

Beweis

(i)   ⟹  \implies (ii): Beide Aussagen sind nach Satz 5329B sogar äquivalent.
(ii)   ⟹  \implies (iii) indirekt: Angenommen BB ist nicht linear unabhängig, dann gibt es ein v∈B,v\in B, das sich als Linearkombination von Vektoren aus B∖{v}B\setminus \{v\} darstellen lässt. Damit wäre dann aber B∖{v}B\setminus \{v\} ein Erzeugendensystem von VV im Widerspruch dazu, dass BB ein minimales Erzeugendensystem ist. Also ist BB linear unabhängig.
BB ist als Erzeugendensystem auch maximal, denn jeder Vektor v∉Bv\notin B lässt sich als Linearkombination von Elementen aus BB darstellen, kommt also nicht als potentieller Kandidat für die Vergrößerung von BB in Frage.
(iii)   ⟹  \implies (i): Sei BB eine maximale Teilmenge linear unabhängiger Vektoren. Wir brauchen nur zu zeigen, dass BB ein Erzeugendensystem ist. Dazu zeigen wir, dass sich ein beliebiger Vektor v∈Vv\in V als Linearkombination von Vektoren aus BB darstellen lässt.
ObdA können wir v∉Bv\notin B annehmen, denn andernfalls lässt sich mit v=1⋅vv=1\cdot v trivialerweise eine Linearkombination finden. Nach Voraussetzung kann dann B∪{v}B\cup \{v\} nicht linear unabhängig sein. Damit gibt es v1,…,vn∈Bv_1,\ldots ,v_n\in B und α,α1,…,αn∈K\alpha, \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K, die nicht alle gleich 0 sind, so dass
αv+α1v1+…+αnvn=0\alpha v+\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n=0.(1)
Es muss außerdem α≠0\alpha\neq 0 gelten, denn andernfalls wären die v1,…,vnv_1,\ldots ,v_n und damit auch BB linear abhängig. Dann können wir aber (1) umstellen zu:
v=−α1αv1−…−αnαvnv=-\dfrac {\alpha_1}\alpha v_1-\ldots-\dfrac {\alpha_n}\alpha v_n,
womit gezeigt ist, dass vv eine Linearkombination von Elementen aus BB ist. □\qed
 
 

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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