Beispiele für Vektorräume

Nullvektorraum

{0} mit \(\displaystyle 0 + 0 = 0\) und \(\displaystyle 0 =\alpha 0\) für alle \(\displaystyle \alpha\in K\) ist ein K-Vektorraum, der Nullvektorraum.

Reelle und komplexe Vektorräume

Handelt es sich beim Körper \(\displaystyle K\) um die reellen Zahlen \(\displaystyle \R\), so spricht man von einem reellen Vektorraum und analog von einem komplexen Vektorraum falls \(\displaystyle K=\C\).
 
 

Einfache Beispiele

Der euklidische Vektorraum \(\displaystyle \domRn\) ist eine Vektorraum über den reellen Zahlen. Allgemein kann man für einen beliebigen Körper \(\displaystyle K\) den Vektorraum \(\displaystyle K^n\) definieren. Dieser enthält die n-Tupel von Elementen aus \(\displaystyle K\) als Vektoren, deren Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise definiert ist.
\(\displaystyle \domR\) ist ein \(\displaystyle \domQ\)-Vektorraum, wie aus den Körpereigenschaften von \(\displaystyle \domR\) folgt.
Ebenso ist \(\displaystyle \domC\) ein \(\displaystyle \domR\) -Vektorraum und ein \(\displaystyle \domQ\)-Vektorraum.
Allgemein gilt: Jeder Körper \(\displaystyle L\), der \(\displaystyle K\) als Teilkörper enthält, ist ein Vektorraum über \(\displaystyle K\).

Beispiel 15XV (Vektorraum der Abbildungen)

Sei \(\displaystyle X\) eine nicht leere Menge, und sei \(\displaystyle \Abb(X,K) := \{f : X \rightarrow K\}\) die Menge der Abbildungen von \(\displaystyle X\) mit Werten aus \(\displaystyle K\). Für Abbildungen \(\displaystyle f, g \in\Abb(X,K)\) und \(\displaystyle \alpha\in K\) definieren wir:
(1)
\(\displaystyle f + g : \, (f+g)(x):= f(x) + g(x)\forall x\in X \) (Addition)
(2)
\(\displaystyle \alpha f :\, (\alpha f)(x):=\alpha f(x)\forall x\in X\) (Skalarmultiplikation)
Die Operationen werden also punktweise für alle \(\displaystyle x\in X\) definiert.
\(\displaystyle \Abb(X,K)\) wird dadurch zu einem \(\displaystyle K\)-Vektorraum. Dass \(\displaystyle \Abb(X,K)\) ein \(\displaystyle K\)-Vektorraum ist, zeigt man durch Rückführung auf die entsprechenden Vektorraumeigenschaften von \(\displaystyle K\).
Das neutrale Element der Addition (der Nullvektor) ist die Nullabbildung, die jedes Element aus \(\displaystyle X\) auf \(\displaystyle 0\in K\) abbildet: \(\displaystyle f(x)=0\forall x\in X\)
Die zu \(\displaystyle f\in\Abb(X,K)\) inverse Abbildung \(\displaystyle \uminus f\) ist nach obiger Festlegung: \(\displaystyle -f(x)\forall x\in X\).
Bei \(\displaystyle \Abb(X,K)\) handelt es sich um einen Funktionenraum mit Werten in \(\displaystyle K\).
Für zwei Vektorräume \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) über dem selben Körper kann man \(\displaystyle \Abb(V,W)\) mit zu (1) und (2) analogen Festlegungen den Vektorraum aller Abbildungen zwischen den beiden Vektorräumen definieren.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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