Unterräume von Vektorräumen

Eine nichtleere Teilmenge U⊆VU\subseteq V eines Vektorraums VV ist ein Untervektorraum oder einfach Unterraum oder (linearer) Teilraum, wenn UU selbst wieder ein Vektorraum ist.
Konkret bedeutet es, dass
  1. Für v,w∈Uv,w\in U ist v+w∈Uv+w\in U
  2. Für v∈Uv\in U und α∈K\alpha\in K gilt αv∈U\alpha v\in U

Beispiele

Für einen Vektorraum VV sind der nur aus dem Nullvektor {0}\{0\} bestehende Raum und VV selbst Untervektorräume.
 
 

Ursprungsgeraden im R2\domRZwei

Die Mengen der Punkte U:={(x,y)∈R2 ∣ ax+by=0}U:=\{(x,y)\in\domRZwei \, |\, ax+by=0\} für vorgegebene reelle Zahlen aa und bb bilden Geraden durch den Ursprung. Diese sind Teilräume des R2\domRZwei.
Es ist U≠∅U\neq\emptyset, da (0,0)∈U(0,0)\in U.
Seien (x1,y1)∈U(x_1,y_1)\in U und (x2,y2)∈U(x_2,y_2)\in U. Dann gilt ax1+by1=0ax_1+by_1=0 und ax2+by2=0ax_2+by_2=0, also auch: a(x1+x2)+b(y1+y2)=0a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)=0, womit (x1+x2,y1+y2)∈U(x_1+x_2,y_1+y_2)\in U gilt.
Mit ax1+by1=0ax_1+by_1=0 gilt auch αax1+αby1=0\alpha ax_1+\alpha by_1=0 für α∈R\alpha\in\domR, womit auch gezeigt ist, dass α(x1,y1)=(αx1,αy1)∈U\alpha(x_1,y_1)=(\alpha x_1,\alpha y_1)\in U.

Wenn UU und WW Untervektorräume von VV sind, so ist U∩VU\cap V ebenfalls ein Untervektorraum. Es gilt allgemein:

Satz 15WU (Durchschnittssatz für Vektorräume)

Sei VV ein Vektorraum und II eine beliebige Indexmenge. Wenn alle UiU_i Teilräume von VV sind, so ist auch ⋂i∈IUi\bigcap\limits_{i\in I} U_i ein Untervektorraum von V.

Beweis

Sei U:=⋂i∈IUiU:=\bigcap\limits_{i\in I} U_i und u,v∈Uu,v\in U, dann ist u,v∈Uiu,v\in U_i für alle i∈Ii\in I und auch u+v∈Uiu+v\in U_i und damit ist u+v∈Uu+v\in U.
Die anderen Eigenschaften überprüft man nach dem gleichen Schema.
Man kann natürlich im Falle der Vektoraddition den Satz auf den entsprechenden Durchschnittssatz für Untergruppen (Satz 5210B) zurückführen und braucht die Überlegungen nur noch für die skalare Multiplikation anstellen. □\qed

Beispiel 15X1 (Vereinigung von Teilräumen)

In Satz 15WU wird gezeigt, dass der Durchschnitt zweier Teilräume wieder einen Teilraum bildet. Dies ist im Allgemeinen bei der Vereinigung von Teilräumen nicht der Fall.
Betrachten wir im obigen Beispiel die durch U1={(0,y)∈R2}U_1=\{(0,y)\in\domRZwei\} und U2={(x,0)∈R2}U_2=\{(x,0)\in\domRZwei\} definierten Teilräume. Es ist dann (0,1)∈U1(0,1)\in U_1 und (1,0)∈U2(1,0)\in U_2, beide Punkte liegen also auch in der Vereinigung. Ihre Summe (1,1)(1,1) jedoch nicht.

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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