Unterräume von Vektorräumen

Eine nichtleere Teilmenge \(\displaystyle U\subseteq V\) eines Vektorraums \(\displaystyle V\) ist ein Untervektorraum oder einfach Unterraum oder (linearer) Teilraum, wenn \(\displaystyle U\) selbst wieder ein Vektorraum ist.
Konkret bedeutet es, dass
  1. Für \(\displaystyle v,w\in U\) ist \(\displaystyle v+w\in U\)
  2. Für \(\displaystyle v\in U\) und \(\displaystyle \alpha\in K\) gilt \(\displaystyle \alpha v\in U\)

Beispiele

Für einen Vektorraum \(\displaystyle V\) sind der nur aus dem Nullvektor \(\displaystyle \{0\}\) bestehende Raum und \(\displaystyle V\) selbst Untervektorräume.
 
 

Ursprungsgeraden im \(\displaystyle \domRZwei\)

Die Mengen der Punkte \(\displaystyle U:=\{(x,y)\in\domRZwei \, |\, ax+by=0\}\) für vorgegebene reelle Zahlen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) bilden Geraden durch den Ursprung. Diese sind Teilräume des \(\displaystyle \domRZwei\).
Es ist \(\displaystyle U\neq\emptyset\), da \(\displaystyle (0,0)\in U\).
Seien \(\displaystyle (x_1,y_1)\in U\) und \(\displaystyle (x_2,y_2)\in U\). Dann gilt \(\displaystyle ax_1+by_1=0\) und \(\displaystyle ax_2+by_2=0\), also auch: \(\displaystyle a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)=0\), womit \(\displaystyle (x_1+x_2,y_1+y_2)\in U\) gilt.
Mit \(\displaystyle ax_1+by_1=0\) gilt auch \(\displaystyle \alpha ax_1+\alpha by_1=0\) für \(\displaystyle \alpha\in\domR\), womit auch gezeigt ist, dass \(\displaystyle \alpha(x_1,y_1)=(\alpha x_1,\alpha y_1)\in U\).
Wenn \(\displaystyle U\) und \(\displaystyle W\) Untervektorräume von \(\displaystyle V\) sind, so ist \(\displaystyle U\cap V\) ebenfalls ein Untervektorraum. Es gilt allgemein:

Satz 15WU (Durchschnittssatz für Vektorräume)

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum und \(\displaystyle I\) eine beliebige Indexmenge. Wenn alle \(\displaystyle U_i\) Teilräume von \(\displaystyle V\) sind, so ist auch \(\displaystyle \bigcap\limits_{i\in I} U_i\) ein Untervektorraum von V.

Beweis

Sei \(\displaystyle U:=\bigcap\limits_{i\in I} U_i\) und \(\displaystyle u,v\in U\), dann ist \(\displaystyle u,v\in U_i\) für alle \(\displaystyle i\in I\) und auch \(\displaystyle u+v\in U_i\) und damit ist \(\displaystyle u+v\in U\).
Die anderen Eigenschaften überprüft man nach dem gleichen Schema.
Man kann natürlich im Falle der Vektoraddition den Satz auf den entsprechenden Durchschnittssatz für Untergruppen (Satz 5210B) zurückführen und braucht die Überlegungen nur noch für die skalare Multiplikation anstellen. \(\displaystyle \qed\)

Beispiel 15X1 (Vereinigung von Teilräumen)

In Satz 15WU wird gezeigt, dass der Durchschnitt zweier Teilräume wieder einen Teilraum bildet. Dies ist im Allgemeinen bei der Vereinigung von Teilräumen nicht der Fall.
Betrachten wir im obigen Beispiel die durch \(\displaystyle U_1=\{(0,y)\in\domRZwei\}\) und \(\displaystyle U_2=\{(x,0)\in\domRZwei\}\) definierten Teilräume. Es ist dann \(\displaystyle (0,1)\in U_1\) und \(\displaystyle (1,0)\in U_2\), beide Punkte liegen also auch in der Vereinigung. Ihre Summe \(\displaystyle (1,1)\) jedoch nicht.

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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