Lineare Hülle und aufgespannter Teilraum
Lineare Hülle
L(M):={v∈V∣∃α1,…,αn∈K∧v1,…,vn∈M:v=α1v1+…+αnvn}
Satz 5329A
Beweis
Dass es sich bei
L(M) um einen
Unterraum handelt, kann man schnell nachrechnen.
Wenn jetzt für einen
Unterraum U gelten soll, dass
M⊆U⊆L(M) und wir eine beliebige
Linearkombination von Elementen aus
M wählen, muss diese in
U liegen, mithin muss
L(M)⊆U gelten, d.h. jeder
Unterraum, der
M enthält auch
L(M).
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Satz 1727 (Hülleneigenschaften der linearen Hülle)
Sei
V ein
Vektorraum und
A,B⊆V. Dann gilt:
- A⊆L(A)
- A⊆B⟹L(A)⊆L(B)
- L(A)=L(L(A))
Beweis
(i) trivial, da für
v∈A nach Definition
1⋅v∈L(A). (ii) Da jede endliche
Linearkombination von Vektoren aus
A auch eine endliche
Linearkombination von Vektoren aus
B ist. (iii) Wegen (i) und
Satz 5329A sind sowohl
L(A) also auch
L(L(A)) kleinste
Unterräume, die
A enthalten, sie müssen also übereinstimmen.
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Aufgespannter Teilraum
span(M)=∩U mit
M⊆U und
U ist
Teilraum von
V.
Lineare Hülle und aufgespannter
Teilraum stimmen überein. Es gilt:
Satz 15WZ (Lineare Hülle und aufgespannter Teilraum)
L(M)=span(M)
Beweis
Nach
Satz 5329A ist
L(M) der kleinste
Unterraum, der
M enthält. Es ist aber auch
span(M) der kleinste
Unterraum, der
M enthält, wie man sich anhand der Definition als
Durchschnitt aller
Teilräume, die
M enthalten, schnell klar macht.
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"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.
Eric Temple Bell
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