Lineare Hülle und aufgespannter Teilraum

Lineare Hülle

Sei M⊆VM\subseteq V Teilmenge eines Vektorraums VV. Wir definieren die lineare Hülle L(M)\LinHull(M) als Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus MM, also
L(M):={v∈V ∣ ∃α1,…,αn∈K∧v1,…,vn∈M:\LinHull(M):=\{v\in V\, |\, \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K \and v_1,\ldots,v_n\in M: v=α1v1+…+αnvn} v=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n \}

Satz 5329A

Sein M⊆VM\subseteq V Teilmenge eines Vektorraums VV, dann ist L(M)\LinHull(M) ein Untervektorraum von VV; es ist sogar der kleinste Unterraum von VV, der MM enthält.
 
 

Beweis

Dass es sich bei L(M)\LinHull(M) um einen Unterraum handelt, kann man schnell nachrechnen.
Wenn jetzt für einen Unterraum UU gelten soll, dass M⊆U⊆L(M)M\subseteq U\subseteq \LinHull(M) und wir eine beliebige Linearkombination von Elementen aus MM wählen, muss diese in UU liegen, mithin muss L(M)⊆U\LinHull(M)\subseteq U gelten, d.h. jeder Unterraum, der MM enthält auch L(M)\LinHull(M). □\qed

Satz 1727 (Hülleneigenschaften der linearen Hülle)

Sei VV ein Vektorraum und A,B⊆VA,B\subseteq V. Dann gilt:
  1. A⊆L(A)A\subseteq \LinHull(A)
  2. A⊆B    ⟹    L(A)⊆L(B)A\subseteq B \;\implies\; \LinHull(A)\subseteq \LinHull(B)
  3. L(A)=L(L(A))\LinHull(A)=\LinHull(\LinHull(A))

Beweis

(i) trivial, da für v∈Av\in A nach Definition 1⋅v∈L(A)1\cdot v\in\LinHull(A). (ii) Da jede endliche Linearkombination von Vektoren aus AA auch eine endliche Linearkombination von Vektoren aus BB ist. (iii) Wegen (i) und Satz 5329A sind sowohl L(A)\LinHull(A) also auch L(L(A))\LinHull(\LinHull(A)) kleinste Unterräume, die AA enthalten, sie müssen also übereinstimmen. □\qed

Aufgespannter Teilraum

Sei VV ein Vektorraum und M⊆VM\subseteq V eine Teilmenge. Der von MM aufgespannte Teilraum ist der Durchschnitt aller MM umfassenden Teilräume. Er wird mit span⁡(M)\span(M) bezeichnet. Formal:
span⁡(M)=∩U\span(M)=\cap U mit M⊆UM\subseteq U und UU ist Teilraum von VV.
Die Wohldefiniertheit des aufgespannten Teilraums ist durch Satz 15WU sichergestellt.
Lineare Hülle und aufgespannter Teilraum stimmen überein. Es gilt:

Satz 15WZ (Lineare Hülle und aufgespannter Teilraum)

Sei VV ein Vektorraum und M⊆VM\subseteq V eine Teilmenge. Dann gilt
L(M)=span⁡(M)\LinHull(M)=\span(M)

Beweis

Nach Satz 5329A ist L(M)\LinHull(M) der kleinste Unterraum, der MM enthält. Es ist aber auch span⁡(M)\span(M) der kleinste Unterraum, der MM enthält, wie man sich anhand der Definition als Durchschnitt aller Teilräume, die MM enthalten, schnell klar macht. □\qed

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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