Dualräume

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\). Fasst man \(\displaystyle K\) als Vektorraum über sich selbst auf, so heißen die Vektorraumhomomorphismen \(\displaystyle f:V\rightarrow K\) Linearformen.
Nach Satz 15XW bilden diese Homomorphismen einen Vektorraum \(\displaystyle \Hom(V,K)\). Dieser Vektorraum heißt der Dualraum (oder duale Vektorraum) zu \(\displaystyle V\) und wird mit \(\displaystyle V*\) bezeichnet. Der Dualraum ist also ein spezieller Vektorraum von Homomorphismen, nämlich derjenige, der aus den Linearformen von \(\displaystyle V\) besteht.
 
 

Satz 15YJ (Dimension des Dualraums)

Sei \(\displaystyle V\) ein endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper \(\displaystyle K\). Die Dimension des Dualraums \(\displaystyle V*\) stimmt mit der von \(\displaystyle V\) überein, also:
\(\displaystyle \dim V*=\dim V\)

Beweis

Mit Folgerung 15YH gilt: \(\displaystyle \dim V*=\dim \Hom(V,K)\) \(\displaystyle =\dim V\cdot\dim K\) \(\displaystyle =\dim V\cdot 1=\dim V\\, \) \(\displaystyle \qed\)

Duale Abbildung

DAbb.png
Jede Abbildung \(\displaystyle \varphi:V\rightarrow W\) liefert eine duale Abbildung \(\displaystyle \varphi*:W*\rightarrow V*\) mit \(\displaystyle (f:W\rightarrow K)\mapsto (\varphi*(f):V\rightarrow K)\), die folgendermaßen definiert ist
\(\displaystyle (\varphi*(f))(v):=f(\varphi(v))\).
Es gilt \(\displaystyle \varphi*(f)=f\circ \varphi\).

Es gibt jedoch noch einen anderen Grund für die hohe Wertschätzung der Mathematik; sie allein bietet den Naturwissenschaften ein gewisses Maß an Sicherheit, das ohne Mathematik nicht erreichbar wäre.

Albert Einstein

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