Erzeugendensysteme von Vektorräumen

Eine Teilmenge \(\displaystyle M\subseteq V\) eines Vektorraums \(\displaystyle V\) über den Körper \(\displaystyle K\) ist ein Erzeugendensystem von \(\displaystyle V\), wenn die lineare Hülle von \(\displaystyle M\) den gesamten Vektorraum \(\displaystyle V\) ergibt, also \(\displaystyle \LinHull(M)=\span(M)=V\). \(\displaystyle V\) heißt endlich erzeugt, wenn \(\displaystyle M\) eine endliche Menge ist.
Ist also \(\displaystyle M\) ein Erzeugendensystem von \(\displaystyle V\), dann gibt es zu jedem \(\displaystyle v\in V\) ein \(\displaystyle n\in\domN\) sowie Elemente \(\displaystyle v_1, \ldots, v_n \in M\) und \(\displaystyle \alpha_1,\ldots, \alpha_n\in K\), sodass \(\displaystyle v=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n\).
 
 

Beispiele

Es gilt \(\displaystyle \domRZwei=\{\alpha(1,0)+\beta(0,1)\, |\, \alpha,\beta\in\domR\}\). Der \(\displaystyle \domRZwei\) wird also von den Vektoren \(\displaystyle (1,0)\) und \(\displaystyle (0,1)\) erzeugt.

Minimale Erzeugendensysteme

Ein Erzeugendensystem heißt minimal, wenn wir keine Vektoren aus ihm weglassen können, also
\(\displaystyle M\) ist minimales Erzeugendensystem \(\displaystyle \iff\; \LinHull(M)=V \and \forall v\in M\, :\, \LinHull(M\setminus\{v\})\neq V\)

Satz 5329B (Minimale Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit)

Ein Erzeugendensystem \(\displaystyle M\) des Vektorraums \(\displaystyle V\) ist genau dann minimal, wenn \(\displaystyle M\) linear unabhängig ist.

Beweis

"\(\displaystyle \Rightarrow\):" Sei \(\displaystyle M\) ein minimales Erzeugendensystem und linear abhängig. Dann gibt es \(\displaystyle v_1,\ldots,v_n\in M\) und \(\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K\) mit \(\displaystyle \alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n =0\) und \(\displaystyle \alpha_i\neq 0\) für wenigstens ein \(\displaystyle i\). Dann ist aber \(\displaystyle v_i=\uminus \dfrac {\alpha_1}{\alpha_i}\, v_1-\ldots-\dfrac {\alpha_{i-1}}{\alpha_i}\, v_{i-1}-\dfrac {\alpha_{i+1}}{\alpha_i}\, v_{i+1}-\ldots-\dfrac {\alpha_n}{\alpha_i}\, v_n\), mithin lässt sich \(\displaystyle v_i\) als Linearkombination von anderen Elementen aus \(\displaystyle M\) darstellen, im Widerspruch zur Annahme, dass \(\displaystyle M\) ein minimales Erzeugendensystem ist.
"\(\displaystyle \Leftarrow\):" \(\displaystyle M\) sei nun ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren. Wir nehmen an, dass \(\displaystyle M\) nicht minimal ist, dann gibt es ein \(\displaystyle v\in M\) mit \(\displaystyle v=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n\) also \(\displaystyle \alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n+(-1)v=0\) im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Elemente aus \(\displaystyle M\). \(\displaystyle \qed\)

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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