Erzeugendensysteme von Vektorräumen

Eine Teilmenge M⊆VM\subseteq V eines Vektorraums VV über den Körper KK ist ein Erzeugendensystem von VV, wenn die lineare Hülle von MM den gesamten Vektorraum VV ergibt, also L(M)=span⁡(M)=V\LinHull(M)=\span(M)=V. VV heißt endlich erzeugt, wenn MM eine endliche Menge ist.
Ist also MM ein Erzeugendensystem von VV, dann gibt es zu jedem v∈Vv\in V ein n∈Nn\in\domN sowie Elemente v1,…,vn∈Mv_1, \ldots, v_n \in M und α1,…,αn∈K\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in K, sodass v=α1v1+…+αnvnv=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n.

Beispiele

Es gilt R2={α(1,0)+β(0,1) ∣ α,β∈R}\domRZwei=\{\alpha(1,0)+\beta(0,1)\, |\, \alpha,\beta\in\domR\}. Der R2\domRZwei wird also von den Vektoren (1,0)(1,0) und (0,1)(0,1) erzeugt.

Minimale Erzeugendensysteme

Ein Erzeugendensystem heißt minimal, wenn wir keine Vektoren aus ihm weglassen können, also
MM ist minimales Erzeugendensystem   ⟺    L(M)=V∧∀v∈M : L(M∖{v})≠V\iff\; \LinHull(M)=V \and \forall v\in M\, :\, \LinHull(M\setminus\{v\})\neq V

Satz 5329B (Minimale Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit)

Ein Erzeugendensystem MM des Vektorraums VV ist genau dann minimal, wenn MM linear unabhängig ist.

Beweis

"⇒\Rightarrow:" Sei MM ein minimales Erzeugendensystem und linear abhängig. Dann gibt es v1,…,vn∈Mv_1,\ldots,v_n\in M und α1,…,αn∈K\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K mit α1v1+…+αnvn=0\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n =0 und αi≠0\alpha_i\neq 0 für wenigstens ein ii. Dann ist aber vi=−α1αi v1−…−αi−1αi vi−1−αi+1αi vi+1−…−αnαi vnv_i=\uminus \dfrac {\alpha_1}{\alpha_i}\, v_1-\ldots-\dfrac {\alpha_{i-1}}{\alpha_i}\, v_{i-1}-\dfrac {\alpha_{i+1}}{\alpha_i}\, v_{i+1}-\ldots-\dfrac {\alpha_n}{\alpha_i}\, v_n, mithin lässt sich viv_i als Linearkombination von anderen Elementen aus MM darstellen, im Widerspruch zur Annahme, dass MM ein minimales Erzeugendensystem ist.
"⇐\Leftarrow:" MM sei nun ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren. Wir nehmen an, dass MM nicht minimal ist, dann gibt es ein v∈Mv\in M mit v=α1v1+…+αnvnv=\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n also α1v1+…+αnvn+(−1)v=0\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n+(-1)v=0 im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Elemente aus MM. □\qed
 
 

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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