Dimensionsformel für endlich dimensionale Vektorräume

Satz 15XP (Dimensionsformel)

Sei \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) endlich dimensionale Vektorräume und \(\displaystyle f:V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
(1)
\(\displaystyle \dim V=\dim\, \Ker(f)+\dim \, \Image(f)\)

Beweis

Ist eine direkte Folgerung von Satz 15XO. \(\displaystyle \qed\)

Rang von linearen Abbildungen

Für \(\displaystyle \dim\, \Image(f)\) schreibt man auch \(\displaystyle \rang (f)\) und nennt die Zahl den Rang der Abbildung \(\displaystyle f\). Formel (1) lautet dann:
\(\displaystyle \dim V=\dim \, \Ker(f)+\rang \, (f)\)
Besteht \(\displaystyle \Ker(f)\) nur aus dem Nullvektor, so ist \(\displaystyle V\) isomorph zu \(\displaystyle \Image(f)\).
 
 

Satz 15XR (Folgerungen aus der Dimensionsformel)

Sei \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension \(\displaystyle \dim V=\dim W\) und \(\displaystyle f:V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen paarweise äquivalent:
  1. \(\displaystyle f\) ist injektiv
  2. \(\displaystyle f\) ist surjektiv
  3. \(\displaystyle f\) ist bijektiv
Dieser Satz kann als Analogon von Satz 15WV für endlich dimensionale Vektorräume angesehen werden.

Beweis

(i) \(\displaystyle \implies\) (ii): Ist \(\displaystyle f\) injektiv, dann gilt nach Satz 15XH \(\displaystyle \Ker(f)=\{0\}\) und nach der Dimensionsformel und der Voraussetzung ist dann\(\displaystyle \dim\, \Image(f)=\dim V\)\(\displaystyle =\dim W\\, \) Nach Satz 15XL gilt dann aber \(\displaystyle W\cong \, \Image(f)\), also ist \(\displaystyle f\) surjektiv.
(ii) \(\displaystyle \implies\) (iii): Sei \(\displaystyle f\) surjektiv, dann gilt mit der Voraussetzung \(\displaystyle \dim\, \Image(f)=\dim V=\dim W\) also ist nach der Dimensionsformel \(\displaystyle \dim\, \Ker(f)=0\) damit ist \(\displaystyle f\) nach Satz 15XH injektiv und weil \(\displaystyle f\) nach Voraussetzung schon surjektiv war ist es auch bijektiv.
(iii) \(\displaystyle \implies\) (i): trivial, denn bijektiv beinhaltet immer injektiv. \(\displaystyle \qed\)

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе