Rang einer Matrix

Sei A∈Mat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K) eine Matrix. Der Spaltenrang von AA ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten, was der Dimension des durch die Spalten erzeugten Teilraumes von KmK^m entspricht.
Der Zeilenrang von AA ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen, was der Dimension des durch die Zeilen erzeugten Teilraumes von KnK^n entspricht.
Das Unterscheiden zwischen Spaltenrang und Zeilenrang ist rein akademisch, denn in Satz 16BA wird gezeigt, dass es sich dabei immer um die gleiche Zahl handelt. Man spricht daher auch allgemein vom Rang der Matrix AA und bezeichnet diesen mit rang⁡A\rang A.
Der Rangbegriff ist bei der Aufklärung der Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme von fundamentaler Bedeutung.
Im folgenden verwenden wir rang⁡\rang für den Spaltenrang. Bis zum Beweis der Gleichheit von Spaltenrang und Zeilenrang ist diese Schreibweise unkorrekt. Wir verwenden sie dennoch, um später nicht alle Sätze nochmals für den Zeilenrang formulieren zu müssen. Dabei behalten wir im Hinterkopf, dass wir bis zum Beweis von Satz 16BA alle Aussagen nur für den Spaltenrang gezeigt haben.

Satz 16B8 (Rang als Dimension des Bildraums)

Seien V,WV,W endlich dimensionale Vektorräume und f:V→Wf:V\to W eine lineare Abbildung; B,CB,C Basen von VV und WW. Dann gilt für die Darstellungsmatrix von ff
rang⁡MB,C(f)=dim⁡imf\rang M_{B,C}(f)=\dim\Image f.
Mit dim⁡imf=rang⁡f\dim\Image f=\rang f wurde gerade der Rang einer linearen Abbildung definiert. Dieser stimmt also mit dem Rang der Darstellungsmatrix überein. Die Wahl der Basen spielt dabei keine Rolle.

Beweis (nur für Spaltenrang)

Nach Satz 16AT gilt f=kC−1∘g∘kBf=k_C^\me\circ g\circ k_B, wobei kBk_B und kCk_C die Koordinatenabbildungen bezüglich der Basen BB und CC sind und g:Kn→Kmg:K^n\to K^m die zur Darstellungsmatrix MB,C(f)M_{B,C}(f) gehörige Standardabbildung. Da die Koordinatenabbildungen Vektorraumisomorphismen sind, gilt dim⁡imf=dim⁡img\dim\Image f=\dim\Image g und nach Bemerkung 16B7 wird img\Image g von den Spalten von MB,C(f)M_{B,C}(f) erzeugt. □\qed

Satz 16B9 (Zusammenhang von Rang und Invertierbarkeit)

Sei A∈Mat(n×n,K)A\in\Mat(n\cross n,K) eine quadratische Matrix. AA ist genau dann invertierbar, wenn rang⁡A=n\rang A=n.

Beweis (nur für Spaltenrang)

"  ⟹  \implies": Wenn AA invertierbar ist, so ist nach Satz 16AU die Standardabbildung g:v↦Avg: v\mapto Av für v∈Knv\in K^n bijektiv. Also ist img=Kn\Image g=K^n und nach Bemerkung 16B7 wird img\Image g von den Spalten von AA erzeugt, also n=dim⁡img=rang⁡An=\dim\Image g=\rang A.
"⇐\Leftarrow": Sei rang⁡A=n\rang A=n. Nach Satz 16B5 gibt es invertierbare Matrizen U,VMat(n×n,K)U,V\Mat(n\cross n,K) so dass sich die Einheitsmatrix aus Mat(n×n,K)\Mat(n\cross n,K) als E=UAVE=UAV darstellen lässt. Man setzt B:=VUB:=VU, womit gilt:
BA=VUA=VUAVV−1BA=VUA=VUAVV^\me =VV−1=E=VV^\me=E.
Daher ist BB die inverse Matrix zu AA und AA ist damit invertierbar. □\qed

Bemerkung

Ist eine Matrix AA invertierbar, so ermöglicht die Zerlegung E=UAVE=UAV, sofort die Bestimmung der inversen Matrix von AA. Es gilt nämlich A−1=VUA^\me=VU.

Satz 16BA (Äquivalenz von Spaltenrang und Zeilenrang)

Sei A∈Mat(m×n,K)A\in\Mat(m\cross n,K) eine Matrix. Dann gilt: Der Zeilenrang und der Spaltenrang von AA sind gleich.

Beweis

Nach dem Normalformensatz (Satz 16B5) finden wir für AA invertierbare Matrizen UU und VV, so dass
UAV=Er∣0−−−−0∣0UAV=\matrix{{ {E_r} |0} {{--}--} {0 | 0}}
gilt und rr dem Spaltenrang von AA entspricht, also UAVUAV den gleichen Spaltenrang wie AA hat. Es folgt:
Spaltenrang von AA = Spaltenrang von UAVUAV == Spaltenrang von (UAV)t(UAV)^t (da UAVUAV eine symmetrische Matrix ist) == Spaltenrang von VtAtUtV^tA^tU^t (Satz 15XT) == Spaltenrang von AtA^t (nach dem oben Gesagten und da VtAtUtV^tA^tU^t die Normalform von AtA^t ist) == Zeilenrang von AA (da das Transponieren Zeilen und Spalten vertauscht) □\qed
 
 

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Stephen Hawking

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