Standardabbildung einer Matrix

Ist

A\in\Mat(m\cross n,K)

eine Matrix, so können wir die folgende lineare Abbildung

f:K^n\to K^m

definieren:

f(v)=Av

für

v\in K^n

komponentenweise:

v=\pmatrix {v_1 \\ \vdots\\ v_n}\, \mapto \, A\cdot \pmatrix {v_1\\ \vdots\\ v_n}

Diese Abbildung heißt die Standardabbildung zur Matrix

A

A

f

bezüglich der Standardbasen in

K^n

und

K^m

Insbesondere ist das Bild des

k

-ten Standardbasisvektor

e_k\in K^n

, der lediglich Nullen enthält bis auf die

k

-te Zeile, in der eine Eins steht die

k

-te Spalte der Matrix

A

. Also gilt:

Die Spalten der Matrix

A

sind bei der Standardabbildung die Bilder der Standardbasisvektoren.

Sei

A=\pmatrix {{1 \, 2} \\ {3\, 4}\\ {5 \, 6}}

. Dieser Matrix können wir nun eine Abbildung

f:\R^2\to\R^3

zuordnen, die einen Vektor

x=\pmatrix {x_1 \\ x_2}

auf den Vektor

f(x)=\pmatrix {{x_1+2x_2}\\ {3x_1+4x_2}\\ {5x_1+6x_2}}

abbildet.

Für die beiden Standardbasisvektoren (Einheitsvektoren) gilt:

e_1=\pmatrix {1\\ 0}\, \mapto \, \pmatrix { 1\\ 3\\ 5}

und

e_2=\pmatrix {0\\ 1}\, \mapto \, \pmatrix { 2\\ 4\\ 6}

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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