Lineare Abbildungen in Vektorräumen

Seien \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) zwei Vektorräume über dem gleichen Körper \(\displaystyle K\) eine Abbildung \(\displaystyle f:V\rightarrow W\) heißt lineare Abbildung oder Vektorraumhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
  1. \(\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)\) für alle \(\displaystyle u,v\in V\) (Additivität)
  2. \(\displaystyle f(\alpha v)=\alpha \, f(v)\) für alle \(\displaystyle \alpha\in K\) und \(\displaystyle v\in V\) (Homogenität)
Eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich heißt auch Endomorphismus.
Beide Eigenschaften kann man auch zu einer Eigenschaft zusammenfassen:
\(\displaystyle f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)\).
Die Menge der linearen Abbildungen bezeichnen wir mit \(\displaystyle \Hom(V,W)\) und die Menge der Endomorphismen mit \(\displaystyle \End_K(V)\) oder einfach mit \(\displaystyle \End (V)\).
 
 

Beispiele

Die Abbildung \(\displaystyle f(v)=0\), die jedem Vektor den Nullvektor zuordnet, ist linear.
Die identische Abbildung \(\displaystyle \id:V\to V\) mit \(\displaystyle \id(v)=v\) ist eine lineare Abbildung.
Die linearen Funktionen in \(\displaystyle \domR\) sind lineare Abbildungen.

Komplexe Zahlen über verschiedenen Körpern

Bei der Linearität spielt der Körper über dem der Vektorraum betrachtet wird eine entscheidende Rolle. Wir können die komplexen Zahlen \(\displaystyle \domC\), da sie ein Körper sind, als Vektorraum über sich selbst auffassen. Betrachten wir nun die komplexe Konjugation: \(\displaystyle z\mapto \overline z\) so handelt es sich um keine lineare Abbildung. Einerseits gilt: \(\displaystyle \overline{ \i\cdot\i}=\overline\me=\me\) und andererseits: \(\displaystyle \i\overline\i=\i\cdot(\uminus\i)=1\).
Betrachten wir die komplexen Zahlen jedoch als Vektorraum über den reellen Zahlen so brauchen wir wegen Satz 5228C lediglich die Bedingung (ii) zu überprüfen. Für \(\displaystyle x,y,a\in\domR\) gilt: \(\displaystyle \overline{a(x+\i y)}=\overline{ax+a\i y}\) \(\displaystyle =ax-a\i y=a(x-\i y)=a(\overline{x+\i y})\).
Nach Beispiel 15XV bildet \(\displaystyle \Abb(V,W)\), die Menge aller Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, selbst einen Vektorraum. Für die Homomorphismen gilt Analoges:

Satz 15XW (Vektorraum der Homomorphismen)

Seien \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) zwei Vektorräume über dem selben Körper \(\displaystyle K\). Dann ist die Menge der linearen Abbildungen (Homomorphismen) \(\displaystyle \Hom(V,W)\) zwischen \(\displaystyle V\) und \(\displaystyle W\) ein Untervektorraum des Vektorraums \(\displaystyle \Abb(V,W)\).

Beweis

Da die Nullabbildung trivialerweise ein Homomorphismus ist, gilt \(\displaystyle \Hom(V,W)\neq \emptyset\).
Wir zeigen, dass die in Beispiel 15XV definierte Addition und Skalarmultiplikation auch die Linearität erhalten.
Seien nun \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle g\) lineare Abbildungen und \(\displaystyle v,w\in V\), sowie \(\displaystyle \alpha,\beta\in K\). Dann gilt:
\(\displaystyle (f+g)(\alpha v+\beta w)\) \(\displaystyle =f(\alpha v+\beta w)+g(\alpha v+\beta w)\) (nach Definition von \(\displaystyle f+g\))
\(\displaystyle =\alpha f(v)+\beta f(w)+\alpha g(v)+\beta g(w)\) (wegen der Linearität von \(\displaystyle f\) und \(\displaystyle g\))
\(\displaystyle =\alpha (f(v)+g(v)) + \beta (f(w)+g(w))\) \(\displaystyle =\alpha (f+g)(v)+\beta (f+g)(w)\).
Für \(\displaystyle \lambda\in K\): \(\displaystyle (\lambda f) (\alpha v+\beta w)\) \(\displaystyle =\lambda\cdot f(\alpha v+\beta w)\) \(\displaystyle =\lambda(\alpha f(v)+\beta f(w))\) \(\displaystyle =\lambda\alpha f(v)+\lambda\beta f(w)\) \(\displaystyle =\alpha(\lambda f) (v)+\beta(\lambda f) (w)\) \(\displaystyle \qed\)

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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