Lineare Abbildungen und Teilräume

Lineare Abbildungen sind dadurch ausgezeichnet, dass sie Untervektorräume in Untervektorräume überführen.

Satz 15XF (Lineare Abbildungen und Teilräume)

Seien VV und WW Vektorräume und f:V→Wf:V\rightarrow W eine lineare Abbildung. UU sei ein Teilraum von VV Dann gilt:
  1. f(0)=0f(0)=0 (Der Nullvektor aus VV geht in den Nullvektor von WW über.)
  2. f(−v)=−f(v)f(-v)=\uminus f(v) für alle v∈Vv\in V
  3. f(U)f(U) ist Teilraum von WW

Beweis

(i) f(0)=f(0⋅0)=0⋅f(0)=0f(0)=f(0\cdot 0)=0\cdot f(0)=0.
(ii) f(−v)=f(−1⋅v)=−1⋅f(v)f(-v)=f(\me\cdot v)=\me\cdot f(v)
(iii) f(U)≠∅f(U)\neq \emptyset, da f(0)∈f(U)f(0)\in f(U)
Für w1,w2∈f(U)w_1,w_2\in f(U) gibt es u1,u2u_1,u_2 mit w1=f(u1)w_1=f(u_1) und w2=f(u2)w_2=f(u_2). Es ist w1+w2=f(u1)+f(u2)=f(u1+u2)∈f(U)w_1+w_2=f(u_1)+f(u_2)=f(u_1+u_2)\in f(U).
Für α∈K\alpha\in K gilt: αw1=αf(u1)=f(αu1)∈f(U)\alpha w_1=\alpha f(u_1)=f(\alpha u_1)\in f(U). □\qed
 
 

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Vektorräume