Quotientenvektorräume

Affine Unterräume

Sei \(\displaystyle V\) ein Vektorraum und \(\displaystyle U\subseteq V\) ein Untervektorraum. Für \(\displaystyle v\in V\) heißt
\(\displaystyle v+U=\{ v+u|\, u\in U\, \}\subset V \)
der affine Unterraum zu \(\displaystyle U\) durch \(\displaystyle v\). Auch wenn es die Namensgebung nahelegt, so handelt es sich dabei im Allgemeinen nicht um einen Untervektorraum von \(\displaystyle V\). Für \(\displaystyle v\notin U\) ist nämlich \(\displaystyle 0\notin v+U\). Für die additive Gruppe ist \(\displaystyle U\subset (V,+)\) Untergruppe und \(\displaystyle v+U\) ist die Nebenklasse zu \(\displaystyle v\): \(\displaystyle [ v ]\).
 
 

Quotientenvektorräume

Der Quotientenvektorraum (oder kurz Quotientenraum) \(\displaystyle V/U\) ist die Menge der affinen Unterräume zu \(\displaystyle U\). Der folgende Satz zeigt, dass es sich tatsächlich um einen Vektorraum handelt.

Satz 16NF

Sei \(\displaystyle V\) ein \(\displaystyle K\)-Vektorraum und \(\displaystyle U\subseteq V\) ein Untervektorraum. Für \(\displaystyle u,v\in V\), \(\displaystyle \lambda\in K\) definieren wir Vektoraddition \(\displaystyle [u]+[v]:=[u+v]\) und der Skalarmultiplikation \(\displaystyle \lambda[u]:=[ \lambda u ]\).
Dann ist \(\displaystyle V/U\) wird mit den so definierten Operationen ein Vektorraum.

Beweis

Die Verknüpfungen sind wohldefiniert, d.h. sie hängen nicht vom Repräsentanten ab. Für \(\displaystyle u_1,u_2\in U\) ist \(\displaystyle [u]=[u+u_1]\) und \(\displaystyle [v]=[v+u_2]\). \(\displaystyle (u+u_1)+(v+u_2)=u+v+\underbrace{(u_1+u_2)}_{\in U} \) d.h. \(\displaystyle [(u+u1)+(v+u_2)]=[u+v]\)Analog: \(\displaystyle \lambda\cdot (u+u_1)=\lambda u+\underbrace{\lambda u_1}_{\in U}\), d.h. \(\displaystyle [\lambda(u+u_1)]=[\lambda u]\).Vektorraumaxiome: \(\displaystyle [0]=U\).Die Axiome folgen direkt aus Axiomen für \(\displaystyle V\)\(\displaystyle (\lambda+\my)[v]=[(\lambda+\my)v]\) \(\displaystyle =[\lambda v+\mu v]\) \(\displaystyle =[\lambda v]+[\mu v]\) \(\displaystyle =\lambda[ v]+\mu[ v]\). \(\displaystyle \lambda[u+v]=\lambda[u]+\lambda[v]\) läuft analog.\(\displaystyle \lambda[\mu v]=(\lambda\mu)[v]=[\lambda\mu v]\). \(\displaystyle \qed\)

Quotientenabbildung und kanonischer Isomorphismus

Seien \(\displaystyle U,V\) Vektorräume mit \(\displaystyle U\subset V\). Die Abbildung \(\displaystyle \kappa:V\rightarrow V/U\) mit \(\displaystyle v\mapsto [v] \) heißt Quotientenabbildung.

Satz 16NG

Seien \(\displaystyle V,W\) \(\displaystyle K\)-Vektorräume und \(\displaystyle \varphi:V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig definierte Abbildung
\(\displaystyle \overline{\varphi}:V/\Ker(\varphi)\rightarrow \varphi(V)=:\Image(\varphi)\)
mit
\(\displaystyle \overline{\varphi}([v])=\varphi(v)\) \(\displaystyle \forall v\in V \)
\(\displaystyle \overline{\varphi}\) ist ein Vektorraumisomorphismus, der kanonische Isomorphismus zwischen \(\displaystyle \Image\varphi\) und \(\displaystyle V/\Ker\varphi\).
Es ist \(\displaystyle \phi=\overline{\varphi}\circ \kappa\).

Beweis

Nach Satz 15XG ist \(\displaystyle \Ker \phi\) Teilraum von \(\displaystyle V\), sodass die ganze Konstruktion gerechtfertigt ist.
\(\displaystyle \overline{\varphi}\) ist wohldefiniert, hängt also nicht vom Verteter ab. Sei \(\displaystyle [v]=[w]\), also \(\displaystyle \exists u\in \Ker\varphi:\ v=w+u\). \(\displaystyle \overline{\varphi}([v])=\varphi(v)\)\(\displaystyle =\varphi(w+u)=\varphi(w)+\varphi(u)\)\(\displaystyle =\varphi(w)= \overline{\varphi}([w]) \).\(\displaystyle \overline{\varphi}\) ist eine lineare Abbildung: \(\displaystyle \overline{\varphi}(\alpha[v]+\beta[w])\) \(\displaystyle =\overline{\varphi}([\alpha v+\beta w])\) \(\displaystyle =\phi(\alpha v+\beta w)\) \(\displaystyle =\alpha\phi( v)+\beta \phi(w)\) \(\displaystyle =\alpha\overline\phi( [v])+\beta \overline\phi([w])\).
\(\displaystyle \overline{\varphi}\) ist surjektiv: Sei \(\displaystyle w\in\Image\varphi\), d.h. \(\displaystyle \exists u\in V\) mit \(\displaystyle w=\varphi(u)\). Nun ist \(\displaystyle \overline{\varphi}([u])=\varphi(u)=w \).
\(\displaystyle \overline{\varphi}\) injektiv: zu zeigen \(\displaystyle \Ker\overline{\varphi}=\{ 0 \}\) (nach Satz 15XH). \(\displaystyle \overline{\varphi}([v])=0\) \(\displaystyle \Rightarrow \varphi(v)=0\) \(\displaystyle \Rightarrow v\in\Ker\varphi\) \(\displaystyle \Rightarrow [v]=[0] \). \(\displaystyle \qed\)

Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt.

Paul Erdös

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе