Quotientenvektorräume

Affine Unterräume

Sei VV ein Vektorraum und U⊆VU\subseteq V ein Untervektorraum. Für v∈Vv\in V heißt
v+U={v+u∣ u∈U }⊂V v+U=\{ v+u|\, u\in U\, \}\subset V
der affine Unterraum zu UU durch vv. Auch wenn es die Namensgebung nahelegt, so handelt es sich dabei im Allgemeinen nicht um einen Untervektorraum von VV. Für v∉Uv\notin U ist nämlich 0∉v+U0\notin v+U. Für die additive Gruppe ist U⊂(V,+)U\subset (V,+) Untergruppe und v+Uv+U ist die Nebenklasse zu vv: [v][ v ].

Quotientenvektorräume

Der Quotientenvektorraum (oder kurz Quotientenraum) V/UV/U ist die Menge der affinen Unterräume zu UU. Der folgende Satz zeigt, dass es sich tatsächlich um einen Vektorraum handelt.

Satz 16NF

Sei VV ein KK-Vektorraum und U⊆VU\subseteq V ein Untervektorraum. Für u,v∈Vu,v\in V, λ∈K \lambda\in K definieren wir Vektoraddition [u]+[v]:=[u+v][u]+[v]:=[u+v] und der Skalarmultiplikation λ[u]:=[λu]\lambda[u]:=[ \lambda u ].
Dann ist V/UV/U wird mit den so definierten Operationen ein Vektorraum.

Beweis

Die Verknüpfungen sind wohldefiniert, d.h. sie hängen nicht vom Repräsentanten ab. Für u1,u2∈Uu_1,u_2\in U ist [u]=[u+u1][u]=[u+u_1] und [v]=[v+u2][v]=[v+u_2]. (u+u1)+(v+u2)=u+v+(u1+u2)⎵∈U (u+u_1)+(v+u_2)=u+v+\underbrace{(u_1+u_2)}_{\in U} d.h. [(u+u1)+(v+u2)]=[u+v][(u+u1)+(v+u_2)]=[u+v] Analog: λ⋅(u+u1)=λu+λu1⎵∈U\lambda\cdot (u+u_1)=\lambda u+\underbrace{\lambda u_1}_{\in U}, d.h. [λ(u+u1)]=[λu][\lambda(u+u_1)]=[\lambda u]. Vektorraumaxiome: [0]=U[0]=U. Die Axiome folgen direkt aus Axiomen für VV (λ+μ)[v]=[(λ+μ)v](\lambda+\my)[v]=[(\lambda+\my)v] =[λv+μv]=[\lambda v+\mu v] =[λv]+[μv]=[\lambda v]+[\mu v] =λ[v]+μ[v]=\lambda[ v]+\mu[ v]. λ[u+v]=λ[u]+λ[v]\lambda[u+v]=\lambda[u]+\lambda[v] läuft analog. λ[μv]=(λμ)[v]=[λμv]\lambda[\mu v]=(\lambda\mu)[v]=[\lambda\mu v]. □\qed

Quotientenabbildung und kanonischer Isomorphismus

Seien U,VU,V Vektorräume mit U⊂VU\subset V. Die Abbildung κ:V→V/U \kappa:V\rightarrow V/U mit v↦[v] v\mapsto [v] heißt Quotientenabbildung.

Satz 16NG

Seien V,WV,W KK-Vektorräume und φ:V→W\varphi:V\rightarrow W eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig definierte Abbildung
φ‾:V/ker(φ)→φ(V)=:im(φ) \overline{\varphi}:V/\Ker(\varphi)\rightarrow \varphi(V)=:\Image(\varphi)
mit
φ‾([v])=φ(v) \overline{\varphi}([v])=\varphi(v) ∀v∈V \forall v\in V
φ‾\overline{\varphi} ist ein Vektorraumisomorphismus, der kanonische Isomorphismus zwischen imφ\Image\varphi und V/kerφV/\Ker\varphi.
Es ist φ=φ‾∘κ\phi=\overline{\varphi}\circ \kappa.

Beweis

Nach Satz 15XG ist kerφ\Ker \phi Teilraum von VV, sodass die ganze Konstruktion gerechtfertigt ist.
φ‾\overline{\varphi} ist wohldefiniert, hängt also nicht vom Verteter ab. Sei [v]=[w][v]=[w], also ∃u∈kerφ: v=w+u\exists u\in \Ker\varphi:\ v=w+u. φ‾([v])=φ(v) \overline{\varphi}([v])=\varphi(v)=φ(w+u)=φ(w)+φ(u) =\varphi(w+u)=\varphi(w)+\varphi(u)=φ(w)=φ‾([w]) =\varphi(w)= \overline{\varphi}([w]) . φ‾\overline{\varphi} ist eine lineare Abbildung: φ‾(α[v]+β[w])\overline{\varphi}(\alpha[v]+\beta[w]) =φ‾([αv+βw])=\overline{\varphi}([\alpha v+\beta w]) =φ(αv+βw)=\phi(\alpha v+\beta w) =αφ(v)+βφ(w)=\alpha\phi( v)+\beta \phi(w) =αφ‾([v])+βφ‾([w])=\alpha\overline\phi( [v])+\beta \overline\phi([w]).
φ‾\overline{\varphi} ist surjektiv: Sei w∈imφw\in\Image\varphi, d.h. ∃u∈V\exists u\in V mit w=φ(u)w=\varphi(u). Nun ist φ‾([u])=φ(u)=w \overline{\varphi}([u])=\varphi(u)=w .
φ‾\overline{\varphi} injektiv: zu zeigen kerφ‾={0}\Ker\overline{\varphi}=\{ 0 \} (nach Satz 15XH). φ‾([v])=0 \overline{\varphi}([v])=0 ⇒φ(v)=0 \Rightarrow \varphi(v)=0 ⇒v∈kerφ \Rightarrow v\in\Ker\varphi ⇒[v]=[0] \Rightarrow [v]=[0] . □\qed
 
 

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Lineare Algebra