Untergruppen

Sei \(\displaystyle (G,\circ)\) eine Gruppe, \(\displaystyle H\subseteq G\) eine nichtleere Teilmenge von \(\displaystyle G\). Wenn \(\displaystyle H\) bezüglich \(\displaystyle \circ\) eine Gruppe ist, so heißt \(\displaystyle (H,\circ)\) Untergruppe von \(\displaystyle (G,\circ)\).
Nicht jede Teilmenge muss bzgl. der Operation \(\displaystyle \circ\) eine Gruppe sein. Man betrachte nur die natürlichen Zahlen \(\displaystyle \dom N\) als Teilmenge von \(\displaystyle \dom Z\), welche bezüglich der Addition keine Gruppe bilden.
 
 

Bemerkung 16IP

Wenn \(\displaystyle (H,\circ)\) Untergruppe zu \(\displaystyle (G,\circ)\) ist und \(\displaystyle e\) das neutrale Element von \(\displaystyle (G,\circ)\), dann ist \(\displaystyle e\) auch das neutrale Element von \(\displaystyle (H,\circ)\).
Wenn \(\displaystyle a'\) Inverses zu \(\displaystyle a\) bezüglich \(\displaystyle (H,\circ)\), dann ist es auch Inverses zu \(\displaystyle a\) bezüglich \(\displaystyle (G,\circ)\).
Damit stimmen das neutrale Element und die inversen Elemente einer Untergruppe mit denen der Gruppe überein.

Beispiele

\(\displaystyle (\dom Z, +)\) ist eine Untergruppe von \(\displaystyle (\dom Q,+)\), die ihrerseits eine Untergruppe von \(\displaystyle (\dom R,+)\) ist.
\(\displaystyle (\dom {Z_n}, +_{ \mod \space n})\) ist für alle \(\displaystyle n\) eine Untergruppe von \(\displaystyle (\dom Z, +)\).
Betrachte man alle durch 2 teilbaren Zahlen aus \(\displaystyle \dom {Z}\), so bilden diese bzgl. der Addition ein Gruppe, sind also Untergruppe von \(\displaystyle (\dom Z, +)\). Analoges kann man für alle durch 3, 4 etc. teilbaren Zahlen feststellen.
Wenn \(\displaystyle \cal {Sym}(F)\) die Symmetriegruppe einer ebenen Figur ist, so bilden die Drehungen \(\displaystyle \cal {Rot}(F)\) eine Untergruppe zu dieser. Man überzeugt sich leicht, dass zwei Drehungen immer wieder eine Drehung ergeben und die Umkehrung einer Drehung wieder eine Drehung ist.
Die Spiegelungen bilden im Allgemeinen keine Untergruppe, da man sich schon an der Symmetriegruppe des Rechtecks klarmachen kann, dass die Hintereinanderausführung der Spiegelungen eine Drehung ergibt.
Auch erhalten wir die Symmetriegruppe des Rechtecks als Untergruppe der Symmetriegruppe des Quadrats.

Satz 5210A (Untergruppenkriterium)

Eine nichtleere Teilmenge \(\displaystyle H\subseteq G\) ist genau dann Untergruppe von \(\displaystyle G\), wenn für zwei Elemente \(\displaystyle a,b\in H\) gilt: \(\displaystyle a\circ b^{-1}\in H\).

Beweis

Wenn \(\displaystyle H\) Untergruppe von \(\displaystyle G\) ist, ist die Behauptung trivial erfüllt. Bleibt die Rückrichtung zu zeigen.
Die Assoziativität gilt auf Grund der Assoziativität in \(\displaystyle G\). Es ist \(\displaystyle e\in H\), da mit \(\displaystyle a\in H\) nach Voraussetzung auch \(\displaystyle e=a\circ a^{-1}\in H\). Auf Grund von \(\displaystyle a^{-1}=e\circ a^{-1}\) ist mit \(\displaystyle a\) also auch \(\displaystyle a^{-1}\) in \(\displaystyle H\). Damit ist aber auch wegen \(\displaystyle a,b^{-1}\in H \implies a\circ b\in H\) der Abschluss gegenüber der Produktbildung gezeigt. \(\displaystyle \qed\)

Satz 5210B (Durchschnittssatz)

Der Durchschnitt beliebiger Untergruppen ist eine Untergruppe.
Mathematisch formuliert: Sei \(\displaystyle \bm G=(G,\circ)\) eine Gruppe und \(\displaystyle (H_i,\circ)_{i\in I}\) eine beliebige Familie von Untergruppen.
Dann ist der Durchschnitt \(\displaystyle \bigcap\limits_{i\in I} H_i\) bezüglich \(\displaystyle \circ\) eine Untergruppe.

Beweis

\(\displaystyle H:=\bigcap\limits_{i\in I} H_i\)
\(\displaystyle H\) ist nicht leer, da \(\displaystyle e\in H\)
\(\displaystyle H\) ist bzgl. \(\displaystyle \circ\) abgeschlossen. Für alle \(\displaystyle x,y \in H\) gilt: \(\displaystyle x\circ y \in H\) (Denn \(\displaystyle \forall i\in I: x,y \in H_i \Rightarrow x\circ y \in H_i\), also \(\displaystyle x\circ y \in H\).)
Wenn \(\displaystyle x\in H\) gilt \(\displaystyle x\in H_i\) für alle \(\displaystyle i\in I\), damit gilt aber \(\displaystyle x^{-1}\in H_i\) für alle \(\displaystyle i\), denn die \(\displaystyle H_i\) sind Untergruppen. Damit muss aber auch \(\displaystyle x^{-1}\in H\) sein. \(\displaystyle \qed\)

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе