Komplexprodukt

Seien AA und BB zwei nichtleere Teilmengen einer Gruppe GG, dann definieren wir das Komplexprodukt ABAB wie folgt:
AB:={a∘b∣ a∈A∧b∈B}AB:=\{a\circ b|\space a\in A\and b\in B\}.
Das Komplexprodukt enthält damit alle Elemente aus G, die sich als Produkt von Elementen aus AA und BB darstellen lassen.
Sei P0(G)=P(G)∖{∅}{\Pow}_0(G)=\Pow(G)\setminus \{\emptyset\} das System aller nichtleeren Teilmengen von GG, dann lässt sich das Komplexprodukt auch als binäre Operation auf P0(G){\Pow}_0(G) auffassen.

Satz 5213A (Eigenschaften des Komplexproduktes)

Sei (G,∘)(G,\circ) eine Gruppe mit dem neutralen Element ee, dann hat das Komplexprodukt ⋅:P0(G)×P0(G)→P0(G)\cdot: {\Pow}_0(G)\cross{\Pow}_0 (G)\rightarrow {\Pow}_0 (G) die folgenden Eigenschaften:
  1. Für alle A,B,C⊆GA,B,C\subseteq G gilt: M(NK)=(MN)KM(NK)=(MN)K (Assoziativität)
  2. Es gibt ein neutrales Element: {e⁡}\{\e\}
  3. Im allgemeinen gibt es zu einer Teilmenge A⊆GA\subseteq G kein inverses Element
Insbesondere bedeutet (iii), dass P0(G){\Pow}_0 (G) keine Gruppe bzgl. des Komplexproduktes ist.

Beweis

(i) folgt aus der Assoziativität der Gruppenoperation ∘\circ.
(ii) Für A⊆GA\subseteq G gilt {e}A={e∘a∣a∈A}\{e\}A=\{e\circ a|a\in A\} ={a∣a∈A}=A=\{a|a\in A\}=A.
(iii): Man betrachte G={e,a}G=\{e,a\} mit folgenden Regeln. e∘a=a∘e=ae\circ a=a\circ e=a und a∘a=ea\circ a=e. Wie man schnell verifiziert, handelt es sich bei (G,∘)(G,\circ) um eine Gruppe. Für {e,a}\{e,a\} gibt es bezüglich des Komplexproduktes kein inverses Element, da {e,a}{e,a}={e,a}{a}={e,a}\{e,a\}\{e,a\}=\{e,a\}\{a\}=\{e,a\} ist. □\qed
 
 

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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