Spezielle Gruppen

Bei einer Gruppe G=(G,∘)\bm G=(G,\circ) in multiplikativer Schreibweise definieren wir für ein g∈Gg \in \bm G induktiv Potenzen für alle natürlichen Zahlen n∈Nn \in \dom N:
  1. g0=eg^0=e
  2. gn+1=g∘gng^{n+1}= g\circ g^n
Dabei sei ee das neutrale Element der Gruppe.
Diese Definition lehnt sich an die Potenzschreibweise beim Rechnen mit natürlichen Zahlen an.
Wir erhalten sofort: g1=g∘g0=g∘e=gg^1=g\circ g^0=g\circ e=g.
Mittels dieser Definition können wir dann die gewöhnlichen Potenzgesetze formulieren: gk∘gl=gk+lg^k \circ g^l=g^{k+l}. Den Beweis dieser gesetzte führt man leicht vermittels vollständiger Induktion über die Exponenten unter Ausnutzung der Assoziativität.
Wenn wir jetzt noch festsetzen, dass g−m:=(gm)−1g^{-m}:= (g^{{m})^{-1}}, wie wir es vom Zahlenrechnen kennen, brauchen wir nur noch nachweisen, dass (g−m)−1=(g−1)m(g^{{-m})^{-1}} = (g^{{-1})^m} und wir können die Potenzgesetze auf den Bereich der ganzzahligen Exponenten erweitern. Den Beweise führt man wieder vermittels vollständiger Induktion.
Das kleinste n∈Nn\in\dom N für dass an=1a^n=\bm 1 gilt, heißt Ordnung des Elements aa und wird mit ord⁡(a)\ord(a) bezeichnet.
 
 

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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