Spezielle Gruppen

Bei einer Gruppe \(\displaystyle \bm G=(G,\circ)\) in multiplikativer Schreibweise definieren wir für ein \(\displaystyle g \in \bm G\) induktiv Potenzen für alle natürlichen Zahlen \(\displaystyle n \in \dom N\):
  1. \(\displaystyle g^0=e\)
  2. \(\displaystyle g^{n+1}= g\circ g^n\)
Dabei sei \(\displaystyle e\) das neutrale Element der Gruppe.
Diese Definition lehnt sich an die Potenzschreibweise beim Rechnen mit natürlichen Zahlen an.
Wir erhalten sofort: \(\displaystyle g^1=g\circ g^0=g\circ e=g\).
Mittels dieser Definition können wir dann die gewöhnlichen Potenzgesetze formulieren: \(\displaystyle g^k \circ g^l=g^{k+l}\). Den Beweis dieser gesetzte führt man leicht vermittels vollständiger Induktion über die Exponenten unter Ausnutzung der Assoziativität.
Wenn wir jetzt noch festsetzen, dass \(\displaystyle g^{-m}:= (g^{{m})^{-1}}\), wie wir es vom Zahlenrechnen kennen, brauchen wir nur noch nachweisen, dass \(\displaystyle (g^{{-m})^{-1}} = (g^{{-1})^m}\) und wir können die Potenzgesetze auf den Bereich der ganzzahligen Exponenten erweitern. Den Beweise führt man wieder vermittels vollständiger Induktion.
Das kleinste \(\displaystyle n\in\dom N\) für dass \(\displaystyle a^n=\bm 1\) gilt, heißt Ordnung des Elements \(\displaystyle a\) und wird mit \(\displaystyle \ord(a)\) bezeichnet.
 
 

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе