Quaternionengruppe

Diese Gruppe wird von zwei Elementen $a$ und $b$ erzeugt werden mit den Gleichungen $a^4=e$ und $b^2=a^2=(ab)^2$.

Es folgt sofort, dass $b^4=e$ gilt.

Wenn wir $(ab)^2=abab=a^2=b^2$ von links mit $a^3$ und von rechts mit $b^3$ multiplizieren erhalten wir $ba=ab^3=a^3b$. Damit können wir jedes Produkt der Form $b^ma^n$ in eine Form $a^kb^l$ umschreiben. Unter Berücksichtigung der Regeln hat diese Gruppe die folgenden Elemente $e$, $a$, $a^2=b^2$, $a^3=ab^2$, $b$, $ab$, $a^2b=b^3$ und $a^3b=ab^3$.

Die so definierte Gruppe heißt Quaternionengruppe. Sie ist nicht kommutativ (Offensichtlich ist $ab\neq ba=a^3b$).

Mit $\spo a\spc$ besitzt sie eine zur zyklischen Gruppe $\bm{C_4}$ isomorphe Untergruppe, diese ist nach Satz 5329K Normalteiler.

Die Bezeichnung Quaternionengruppe rührt von einer anderen Darstellung her. Die Quaternionen sind eine Erweiterung der komplexen Zahlen, wobei neben der imaginären Einheit $\i$ noch zwei weitere Einheiten $\j$ und $\k$ auftreten. Die Zahlen haben dann die Form $z=a+b\i+c\j+d\k$. Die Rechenregeln werden entsprechend denen der komplexen Zahlen unter Benutzung der Beziehungen $\i^2=\j^2=\k^2=-1$ und $\i\j=-\j\i=k$ definiert.

Die Beziehung zur Quaternionengruppe ergibt sich, indem man $1=e$, $-1=a^2$, $\i=a$, $-\i=a^3$, $\j=b$, $-\j=b^3$, $\k=ab$ und $-\k=a^3b$ setzt. Die Gültigkeit der obigen Beziehungen ergibt sich dann schnell.

Da die Quaternionengruppe nicht kommutativ ist, ist der Quaternionenkörper auch nicht kommutativ, also ein Schiefkörper.