Normalteiler

Bei den Normalteilern handelt es sich um spezielle Untergruppen.

Eine Untergruppe $H$ einer Gruppe $G$ heißt Normalteiler genau dann, wenn alle Linksnebenklassen bzgl. eines beliebigen Gruppenelements mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen:

Jede Gruppe $G$ hat zwei triviale Normalteiler: {e}, die Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht und die Gruppe $G$ selbst.

Sind diese beiden Normalteiler die einzigen Normalteiler einer Gruppe, dann heißt die Gruppe einfach.

Diese Definition ist dadurch gerechtfertigt, dass im Allgemeinen die Rechts- und Linksnebenklassen nicht übereinstimmen müssen.

Sei $G=\bm{D_3}$. Diese Diedergruppe wird erzeugt von $a$ und $b$ mit folgenden Gesetzen $a^3=b^2=(ab)^2=1$.

$H=\{1,b\}$ ist eine Untergruppe von $\bm{D_3}$.

Es ist $aH=\{a,ab\}\neq \{1,a^2b\}=Ha$.

Bei der Suche nach einem Gegenbeispiel wurde bewusst eine nicht abelsche Gruppe gewählt, den es gilt

Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler

Wenn wir ein $x\in aH$ als $x=a\circ h$ darstellen können, gilt auch $x=h\circ a$, womit $x\in Ha$. Analog zeigt man $x\in Ha\implies x\in aH$. $\qed$

Eine Untergruppe vom Index 2 ist immer Normalteiler.

Sei $H$ eine Untergruppe von $G$ und $\ind(G:H)=2$. Dann gibt es mit $H$ genau eine weitere Nebenklasse $aH$ mit $a\notin H$. Nach Satz 5211B bilden die Links- und Rechtsnebenklassen eine Zerlegung. Es gilt aber $Ha\neq H$. Dann muss, weil es nur zwei Nebenklassen gibt, $aH=Ha$ gelten und $H$ ist Normalteiler. $\qed$

Eine Untergruppe $H$ von $G$ ist genau dann Normalteiler, wenn für jedes $h\in H$ und $g\in G$ gilt: $g\circ h\circ g^{-1}\in H$.

"$\implies$": Seien $g\in G$ und $h\in H$ beliebig. Dann ist $g\circ h\in gH$, wegen $gH=Hg$ gilt aber auch $g\circ h\in Hg$. Jetzt muss es aber ein $h_1\in H$ geben mit: $g\circ h=h_1\circ g$, umgeformt: $g\circ h\circ g^{-1}=h_1$, womit also $g\circ h\circ g^{-1}\in H$ gilt. Da wir $g$ und $h$ beliebig gewählt hatten, gilt die Behauptung.

"$\Leftarrow$": Sei jetzt $g\circ h\circ g^{-1}\in H$ für beliebige $g\in G$ und $h\in H$. Wir wollen zeigen, dass $gH=Hg$ gilt. Sei $x\in gH$, dann gibt es ein $h\in H$ mit $x=g\circ h$, woraus $x\circ g^{-1}=g\circ h\circ g^{-1}$ folgt. Nach Voraussetzung ist die rechte Seite aber Element von $H$, womit auch $x\circ g^{-1}\in H$ gilt. Es ist aber $x=x\circ g^{-1}\circ g$, womit aber $x\in Hg$ und $gH\subseteq Hg$ folgt. Die andere Inklusion zeigt man wieder analog. $\qed$