Kommutative Gruppen

Eine Gruppe \(\displaystyle G\) heißt kommutativ genau dann, wenn das Kommutativgesetz
\(\displaystyle \forall a,b\in G: a\circ b=b \circ a\)
gilt.
Kommutative Gruppen werden auch abelsche Gruppen genannt.

Beispiele

Nicht jede Gruppe muss kommutativ sein. Die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks (Beispiel C7JG) ist eine nicht kommutative Gruppe.
Die Gruppen, die auf den gewöhnlichen Zahlenbereichen basieren sind kommutativ.
Im allgemeinen gilt sogar:
Jede Untergruppe einer kommutativen Gruppe ist kommutativ.
 
 

Satz 5210C

Gilt in einer Gruppe \(\displaystyle G\) für alle \(\displaystyle a\in G\), dass \(\displaystyle a\circ a=e\), dann ist \(\displaystyle G\) abelsch.

Beweis

Seien \(\displaystyle a,b\in G\), dann gillt nach Voraussetzung \(\displaystyle a\circ b\circ a\circ b=e\), also \(\displaystyle a\circ b\circ a\circ b\circ b=a\circ b\circ a=b\) und schließlich \(\displaystyle a\circ b=b\circ a\). \(\displaystyle \qed\)
Eine Gruppe mit idempotenten Elementen ist also abelsch.

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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