Kommutative Gruppen

Eine Gruppe GG heißt kommutativ genau dann, wenn das Kommutativgesetz
∀a,b∈G:a∘b=b∘a\forall a,b\in G: a\circ b=b \circ a
gilt.
Kommutative Gruppen werden auch abelsche Gruppen genannt.

Beispiele

Nicht jede Gruppe muss kommutativ sein. Die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks (Beispiel C7JG) ist eine nicht kommutative Gruppe.
Die Gruppen, die auf den gewöhnlichen Zahlenbereichen basieren sind kommutativ.
Im allgemeinen gilt sogar:
Jede Untergruppe einer kommutativen Gruppe ist kommutativ.
 
 

Satz 5210C

Gilt in einer Gruppe GG für alle a∈Ga\in G, dass a∘a=ea\circ a=e, dann ist GG abelsch.

Beweis

Seien a,b∈Ga,b\in G, dann gillt nach Voraussetzung a∘b∘a∘b=ea\circ b\circ a\circ b=e, also a∘b∘a∘b∘b=a∘b∘a=ba\circ b\circ a\circ b\circ b=a\circ b\circ a=b und schließlich a∘b=b∘aa\circ b=b\circ a. □\qed
Eine Gruppe mit idempotenten Elementen ist also abelsch.

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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