Polynome

Sei \(\displaystyle \N_0=\{0,1,2,\dots\}\) die Menge der natürlichen Zahlen, \(\displaystyle K\) ein Körper und \(\displaystyle \Abb(\N_0, K)\) der Vektorraum der Folgen in \(\displaystyle K\) (Abbildungen \(\displaystyle p:\N_0\longrightarrow K\), \(\displaystyle i\longmapsto p_i)\). Wir definieren
\(\displaystyle K[x]=\{p:\N_0\longrightarrow K\: p_i\neq0\) nur für endlich viele \(\displaystyle i \}\)
\(\displaystyle K[x]\subset\Abb(\N_0, K)\) ist ein Untervektorraum, da komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation die Eigenschaft, dass nur endlich viele Komponenten \(\displaystyle \neq0\) sind, erhalten (Vektorraum der Abbildungen siehe Beispiel 15XV).Wir erklären die Multiplikation zweier Elemente \(\displaystyle a=(a_0, a_1,a_2,\dots)\) und \(\displaystyle b=(b_0, b_1,b_2,\dots)\in K[x] \) wie folgt: \(\displaystyle a\cdot b=c=(c_0, c_1,c_2,\dots)\in K[x]\) mit
\(\displaystyle c_k=\sum\limits_{i+j=k}{}a_ib_j \)
Dadurch wird aus \(\displaystyle K[x]\) eine kommutative \(\displaystyle K\)-Algebra.
\(\displaystyle 1_{K[x]}=(1,0,0,\dots)\in K[x] \)
\(\displaystyle K[x]\) heißt der Polynomring über \(\displaystyle K\).
 
 

Bemerkung

Man kann den Vektor \(\displaystyle (0,1,0,\dots)\) mit \(\displaystyle x\) bezeichnen. Aus der Definition der Multiplikation folgt dann, dass
\(\displaystyle x^k=\underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_{k\text{- mal}}=(0,0,\dots,0,1,0,\dots)\)
mit \(\displaystyle 1\) an der \(\displaystyle k\)-ten Stelle ist. Also lässt sich ein beliebiger Vektor
\(\displaystyle a=(a_0,a_1,\dots,a_n,0,0,\dots)\in K[x] \)
auch in der Form
\(\displaystyle a=a_0(1,0,\dots) +a_1(0,1,0,\dots) +\dots+a_n(0,0,\dots,0,1,0,\dots)\) \(\displaystyle =a_0\cdot1+a_1\cdot x+\dots+a_n\cdot x^n \)
schreiben. Die oben definierte Multiplikation wird dann zur üblichen Polynommultiplikation.

Polynomabbildung

Sei \(\displaystyle p=(p_0,p_1,\dots,p_n,0,\dots )\in K[x]\) ein Polynom. Dann heißt \(\displaystyle \tilde{p}:K\longrightarrow K\) mit
\(\displaystyle \lambda \longmapsto p_0\cdot1+p_1\cdot\lambda+\dots+p_n\cdot\lambda^n \)
für \(\displaystyle \lambda\in K\) die zugehörige Polynomabbildung (\(\displaystyle \tilde{p}\in \Abb(K, K)\)). Diese Abbildung wertet das Polynom \(\displaystyle p\) an der Stelle \(\displaystyle \lambda\) aus.Man erhält einen \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus \(\displaystyle K[x]\longrightarrow\Abb(K, K)\) indem man jedem Polynom seine Polynomabbildung zuordnet \(\displaystyle p\longmapsto\tilde{p} \).

Bemerkungen

Betrachten wir die reellen Polynome \(\displaystyle \R[x]\subset\Abb(\R,\R)\) als Teilmenge der Abbildungen von \(\displaystyle \R\) nach \(\displaystyle \R\). Dann bedeutet dies nichts anderes, als dass der \(\displaystyle \R\)-Algebra-Homomorphismus \(\displaystyle \R[x]\longrightarrow\Abb(\R, \R)\) injektiv ist.
Tatsächlich kann man für alle Körper \(\displaystyle K\) mit unendlich vielen Elementen zeigen, dass \(\displaystyle K[x]\longrightarrow\Abb(K, K) \) injektiv ist.
Hat \(\displaystyle K\) nur endlich viele Elemente, so ist \(\displaystyle K[x]\longrightarrow\Abb(K, K)\) nicht notwendigerweise injektiv. Das Polynom \(\displaystyle p=(x-0)(x-1)=x^2-x\in{\mathbb F}_2[x] \) definiert die Polynomabbildung \(\displaystyle \tilde{p}:{\mathbb F}_2\longrightarrow{\mathbb F}_2\) mit \(\displaystyle \tilde{p}(0)=0^2-0=0\) und \(\displaystyle \tilde{p}(1)=1^2-1=0\). Also \(\displaystyle \tilde{p}=\tilde{0}\) (=Nullpolynom) obwohl \(\displaystyle p\neq 0\). Ist \(\displaystyle K=\{\lambda_1,\dots,\lambda_q\}\) ein beliebiger endlicher Körper, so tritt das gleiche Phänomen für \(\displaystyle p=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdot\ldots\cdot(x-\lambda_q) \) auf, da \(\displaystyle \tilde{p}(\lambda)=0\) \(\displaystyle \forall\lambda\in K\) ist.

Grad eines Polynoms

Sei \(\displaystyle p=(p_0,p_1,\dots)=\sum\limits \, p_ix^i\in K[x]\) ein Polynom, \(\displaystyle p\neq0\). Der Grad von \(\displaystyle p\) ist
\(\displaystyle \deg p:=\max\{i\,|\,p_i\neq 0\} \).
Für das Nullpolynom definiert man \(\displaystyle \deg 0=-\infty \).

Satz 81BL (Rechenregeln für Polynomgrad)

Für \(\displaystyle P,Q\in K[x]\) gilt
  1. \(\displaystyle \deg (PQ)=\deg P+\deg Q\)
  2. \(\displaystyle \deg (P+Q)\le\max\{\deg P,\deg Q\}\), wobei die Ungleichheit nur dann auftritt, wenn \(\displaystyle \deg P=\deg Q=n\) und \(\displaystyle p_n=-q_n\).

Beweis

(i): Sei \(\displaystyle n=\deg P\), also \(\displaystyle P=p_0+p_1x+\dots+p_nx^n\) mit \(\displaystyle p_n\neq0\) und \(\displaystyle m=\deg Q\), also \(\displaystyle Q=q_0+q_1+\dots+q_mx^m\) mit \(\displaystyle q_m\neq0\). Dann gilt
\(\displaystyle PQ=p_0q_0+(p_0q_1+p_1q_0)x+\dots+(p_nq_m)x^{n+m} \).
Da \(\displaystyle K\) ein Körper, also insbesondere nullteilerfrei ist, gilt \(\displaystyle p_nq_m\neq 0\), da \(\displaystyle p_n\neq0\) und \(\displaystyle q_m\neq0\). Folglich \(\displaystyle \deg PQ=n+m=\deg P+\deg Q \).
(ii): Es gilt
\(\displaystyle P+Q=\begin{cases}(p_0+q_0)+\dots+p_nx^n & \text{ falls } n>m\\ (p_0+q_0)+\dots+q_mx^m & \text{ falls } m>n\\ (p_0+q_0)+\dots+(p_n+q_m)x^n & \text{ falls } n=m\, \end{cases} \)
In den ersten beiden Fällen haben wir \(\displaystyle \deg(P+Q)=\max\{\deg P,\deg Q\}\, \) Im dritten Falls haben wir \(\displaystyle \deg(P+Q)\le n=m\)\(\displaystyle =\max\{n,m\}\)\(\displaystyle =\max\{\deg P,\deg Q\}, \) wobei die Ungleichheit nur für \(\displaystyle p_n+q_n=0\) auftreten kann. \(\displaystyle \qed\)

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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