Nullstellen von Polynomen

Sei \(\displaystyle P\in K[x]\) ein Polynom und \(\displaystyle \lambda\in K\). \(\displaystyle \lambda\) heißt Nullstelle von \(\displaystyle P\), falls \(\displaystyle \tilde P(\lambda)=0 \) ist, also der Wert der Polynomabbildung an der Stelle \(\displaystyle \lambda\) ist \(\displaystyle 0 \in K\) .

Beispiel

\(\displaystyle 1\in{\mathbb F}_2\) ist eine Nullstelle von \(\displaystyle x^2+x\in{\mathbb F}_2[x], \) denn \(\displaystyle 1^2+1=1+1=0\in{\mathbb F}_2\).

Bemerkung

Die Menge der Polynome in \(\displaystyle K[x]\), die eine Nullstelle bei \(\displaystyle \lambda\in K\) haben \(\displaystyle I_\lambda=\{P\in K[x]\:|\:\tilde P(\lambda)=0\}, \) ist ein Ideal von \(\displaystyle K[x]\). \(\displaystyle I\) ist nämlich der Kern des Substitutionshomomorphismus (vgl. Satz 81DC) \(\displaystyle \phi:K[x]\longrightarrow K\) mit \(\displaystyle x\longmapsto\lambda \).
 
 

Satz 81FB (Linearfaktoren)

Ist \(\displaystyle \lambda\in K\) eine Nullstelle von \(\displaystyle P\in K[x]\), dann existiert ein eindeutig bestimmtes Polynom \(\displaystyle Q\) mit \(\displaystyle P=(x-\lambda)Q \) und \(\displaystyle \deg Q=\deg P-1\). Man nennt \(\displaystyle (x-\lambda)\) einen Linearfaktor von \(\displaystyle P\).

Beweis

Wir dividieren \(\displaystyle P\) durch \(\displaystyle (x-\lambda)\) mit Rest (Satz 81DH) und erhalten \(\displaystyle P=Q(x-\lambda)+r \) mit \(\displaystyle \deg r<\deg(x-\lambda)=1\), also \(\displaystyle r=r_0\in K\). Wegen \(\displaystyle 0=\tilde P (\lambda)\)\(\displaystyle =Q(\lambda-\lambda)+r(\lambda)\)\(\displaystyle =0+r_0=r_0\) folgt \(\displaystyle P=Q(x-\lambda)\). Die Gradgleichung folgt aus Satz 81BL. \(\displaystyle \qed\)

Satz 81FC

  1. \(\displaystyle I_\lambda\) ist ein von \(\displaystyle (x-\lambda)\) erzeugtes Hauptideal.
  2. Sei \(\displaystyle K\) ein beliebiger Körper und \(\displaystyle P\in K[x]\) ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom. Dann hat \(\displaystyle P\) höchstens \(\displaystyle n=\deg P\) viele verschiedene Nullstellen.
  3. Ist \(\displaystyle K\) ein Körper mit unendlich vielen Elementen, so ist der \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus \(\displaystyle K[x]\longrightarrow\Abb(K,K)\) mit \(\displaystyle P\longmapsto\tilde P\) injektiv.

Beweis

(i): Mit Satz 81FB und der Definition des Hauptideals.(ii): Induktion nach dem Polynomgrad \(\displaystyle d=\deg P\). Für \(\displaystyle d=0\) gilt \(\displaystyle P=p_0\neq0\in K\) und \(\displaystyle P\) hat gar keine Nullstelle. Sei nun \(\displaystyle d>0\) und die Aussage für Polynome kleineren Grades bereits gezeigt. Wenn \(\displaystyle P\) keine Nullstelle hat, ist die Aussage richtig. Falls \(\displaystyle \lambda\in K\) eine Nullstelle ist, haben wir nach Satz 81FB \(\displaystyle P=(x-\lambda)\cdot Q\) mit \(\displaystyle \deg Q<\deg P\) und nach Induktionsvoraussetzung hat \(\displaystyle Q\) höchstens \(\displaystyle \deg Q<d-1\) Nullstellen. Damit hat aber \(\displaystyle P\) höchstens \(\displaystyle d=\deg P\) viele verschiedene Nullstellen.(iii): Da \(\displaystyle \phi:K[x]\longrightarrow\Abb(K,K)\) ein \(\displaystyle K\)-Algebra-Homomorphismus, also insbesondere eine lineare Abbildung ist, genügt nach Satz 15XH für die Injektivität, \(\displaystyle \Ker\phi=\{0\}\) zu zeigen.Sei also \(\displaystyle P\in\Ker\phi\) ein Polynom, also \(\displaystyle \tilde P=0\) das Nullpolynom. Dann ist \(\displaystyle \tilde P (\lambda)=\tilde 0 (\lambda)=0\) \(\displaystyle \forall\lambda\in K\), d.h. \(\displaystyle P\) hat unendlich viele Nullstellen. Nach (ii) muss daher \(\displaystyle P=0\) sein (sonst gäbe es nämlich höchstens \(\displaystyle \deg P<\infty\) viele Nullstellen). \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung

Ein Polynom \(\displaystyle P\in K[x]\) vom Grad \(\displaystyle n\) hat höchstens \(\displaystyle n\) Nullstellen. Es gibt jedoch Polynome beliebig hohen Grades ohne Nullstellen.Sei \(\displaystyle K=\R\). Das Polynom \(\displaystyle P=x^{2n}+1\in\R[x]\) hat keine Nullstelle in \(\displaystyle \R\), da \(\displaystyle \forall x\in\R\) gilt \(\displaystyle x^{2n}+1\ge1\).Sei \(\displaystyle K=\{\lambda_1,\dots,\lambda_q\}\) ein endlicher Körper, dann ist das Polynom \(\displaystyle \left[\prod\limits_{i=1}^q(x-\lambda_i)\right]^n+1 \) vom Grad \(\displaystyle nq\) und erfüllt \(\displaystyle P(\lambda)=1\) für alle \(\displaystyle \lambda\in K\). \(\displaystyle P\) hat also keine Nullstelle.
Ist \(\displaystyle \C\) der Körper der komplexen Zahlen und \(\displaystyle P\in\C[x]\) ein Polynom vom Grad \(\displaystyle \deg P\ge1\). Dann gilt der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra: \(\displaystyle P\) hat mindestens eine Nullstelle in \(\displaystyle \C\).

Vielfachheit

Sei \(\displaystyle P\in K[x]\) ein Polynom \(\displaystyle \neq0\) und \(\displaystyle \lambda\in K\). Dann heißt
\(\displaystyle \mu(P,\lambda)=\max\{r\in\N_0\:|\:\exists Q:P=(x-\lambda)^r\cdot Q\} \)
die Vielfachheit oder Multiplizität der Nullstelle \(\displaystyle \lambda\). Nach Satz 81FB gilt \(\displaystyle \mu(P,\lambda)=0\quad\Leftrightarrow\quad\tilde P(\lambda)\neq0, \) also wenn \(\displaystyle \lambda\) überhaupt keine Nullstelle ist. Ist \(\displaystyle \mu(P,\lambda)=r\), so gilt \(\displaystyle P=(x-\lambda)^r\cdot Q\) mit \(\displaystyle \tilde Q (\lambda)=0\).

Beispiel

Sei \(\displaystyle P=(x-1)(x-2)^2\), dann ist \(\displaystyle \mu(P,1)=1\), \(\displaystyle \mu(P,2)=2\) und \(\displaystyle \mu(P,3)=0\).

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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