Ideale in Ringen

Sei RR ein Ring. Eine nichtleere Teilmenge I⊂RI\subset R heißt beidseitiges Ideal oder einfach nur Ideal, falls gilt
a,b∈I⇒a+b∈Ia,b\in I\quad\Rightarrow\quad a+b\in I, (I1)
r∈R,a∈I⇒r⋅a∈Ir\in R, a\in I\quad\Rightarrow\quad r\cdot a\in I und a⋅r∈Ia\cdot r\in I (I2)
Ein Ideal ist also eine Teilmenge II, die abgeschlossen bezüglich RR-Linearkombinationen ist.

Beispiele

  1. Für jeden Ring RR sind RR und {0} \{0\} Ideale. Für jedes Ideal I⊆RI\subseteq R gilt 0∈I0\in I. (Sei a∈Ia\in I, dann ist nach I2 0a=0∈I0a=0\in I.)
  2. Die Menge der geraden ganzen Zahlen in Z\Z ist ein Ideal, denn die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade (I1) und die Multiplikation einer geraden mit einer beliebigen ganzen Zahl ist wieder gerade (I2).

Satz 81DC (Kerne von Ringhomomorphismen als Ideale)

Sei φ:R⟶S\phi:R\longrightarrow S ein Ringhomomorphismus. Dann ist ker⁡φ\ker\phi ein Ideal.

Beweis

kerφ≠∅\Ker\phi\ne\OO, da 0∈kerφ0\in\Ker\phi. (I1): r1,r2∈kerφ r_1, r_2\in\Ker\phi⇒φ(r1)=0=φ(r2) \Rightarrow\phi(r_1)=0=\phi(r_2) ⇒φ(r1+r2)=φ(r1)+φ(r2)=0+0=0 \Rightarrow\phi(r_1+r_2){=}\phi(r_1)+\phi(r_2)=0+0=0 ⇒r1+r2∈kerφ \Rightarrow r_1+r_2\in\Ker\phi . (I2): r∈R,i∈kerφ⇒φ(i)=0 r\in R, i\in\Ker\phi\Rightarrow\phi(i)=0 ⇒φ(r⋅i)=φ(r)⋅φ(i)=φ(r)⋅0=0 \Rightarrow\phi(r\cdot i){=}\phi(r)\cdot\phi(i)=\phi(r)\cdot0=0 ⇒r⋅i∈kerφ \Rightarrow r\cdot i\in\Ker\phi □\qed
Jedoch ist imφ\Image\phi nicht immer ein Ideal.
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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