Ideale in Ringen

Sei \(\displaystyle R\) ein Ring. Eine nichtleere Teilmenge \(\displaystyle I\subset R\) heißt beidseitiges Ideal oder einfach nur Ideal, falls gilt
\(\displaystyle a,b\in I\quad\Rightarrow\quad a+b\in I\), (I1)
\(\displaystyle r\in R, a\in I\quad\Rightarrow\quad r\cdot a\in I\) und \(\displaystyle a\cdot r\in I\) (I2)
Ein Ideal ist also eine Teilmenge \(\displaystyle I\), die abgeschlossen bezüglich \(\displaystyle R\)-Linearkombinationen ist.

Beispiele

  1. Für jeden Ring \(\displaystyle R\) sind \(\displaystyle R\) und \(\displaystyle \{0\}\) Ideale. Für jedes Ideal \(\displaystyle I\subseteq R\) gilt \(\displaystyle 0\in I\). (Sei \(\displaystyle a\in I\), dann ist nach I2 \(\displaystyle 0a=0\in I\).)
  2. Die Menge der geraden ganzen Zahlen in \(\displaystyle \Z\) ist ein Ideal, denn die Summe zweier gerader ganzer Zahlen ist gerade (I1) und die Multiplikation einer geraden mit einer beliebigen ganzen Zahl ist wieder gerade (I2).
 
 

Satz 81DC (Kerne von Ringhomomorphismen als Ideale)

Sei \(\displaystyle \phi:R\longrightarrow S\) ein Ringhomomorphismus. Dann ist \(\displaystyle \ker\phi\) ein Ideal.

Beweis

\(\displaystyle \Ker\phi\ne\OO\), da \(\displaystyle 0\in\Ker\phi\). (I1): \(\displaystyle r_1, r_2\in\Ker\phi\)\(\displaystyle \Rightarrow\phi(r_1)=0=\phi(r_2)\) \(\displaystyle \Rightarrow\phi(r_1+r_2){=}\phi(r_1)+\phi(r_2)=0+0=0\) \(\displaystyle \Rightarrow r_1+r_2\in\Ker\phi \).(I2): \(\displaystyle r\in R, i\in\Ker\phi\Rightarrow\phi(i)=0\) \(\displaystyle \Rightarrow\phi(r\cdot i){=}\phi(r)\cdot\phi(i)=\phi(r)\cdot0=0\) \(\displaystyle \Rightarrow r\cdot i\in\Ker\phi \) \(\displaystyle \qed\)
Jedoch ist \(\displaystyle \Image\phi\) nicht immer ein Ideal.

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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