Hauptideale und Hauptidealringe

Sei $R$ ein Ring, $a\in R$ ein Element. Dann ist ein Ideal, das von $a$ erzeugte Ideal.

Schreibweise: $(a)=aR=Ra$.

Ideale der Form (1) heißen Hauptideale. Ringe, die nur Hauptideale besitzen, heißen Hauptidealringe. Dies sind nach Körpern die einfachsten Ringe.

(I1): $r\cdot a, s\cdot a\in (a)\quad\Rightarrow\quad r\cdot a+s\cdot a=(r+ s)\cdot a\in (a)$, (I2): $r\in R, s\cdot a\in (a)\quad\Rightarrow\quad r\cdot(s\cdot a)=(r\cdot s)\cdot a\in (a)$. $\qed$

Körper sind Hauptidealringe.

Sei $I\subset K$ ein Ideal. Entweder ist $I=\{0\}=(0)$, also ein Hauptideal, oder $I\neq\{0\}$ $\Rightarrow\quad\exists\lambda\in I$ mit $\lambda\neq0$ $\Rightarrow\quad\exists\lambda^{-1}\in K$ mit $\lambda^{-1}\cdot\lambda=1$ $\Rightarrow\quad1=\lambda^{-1}\cdot\lambda{\in}I\quad$   (nach I2) $\Rightarrow\quad K\subset I\subset K$ $\Rightarrow\quad I=K=(1)$ ist auch ein Hauptideal. $\qed$

$\Z$ ist ein Hauptidealring.

Sei $I\in\Z$ ein Ideal. Falls $I=(0)$ ist nichts zu zeigen. Sei also $I\neq (0)$. Dann hat $I$ positive Elemente, denn mit $-s\in I$ ist nach (I2) auch $(-1)(-s)=s\in I$. Sei $a\in I$ das kleinste positive Element $\neq 0$ in $I$. Wir zeigen $I=(a)=\{r\cdot a\,|\,r\in \Z\}$. "$\supset$": Mit $a \in I$ ist auch $r\cdot a\in I$ (I2). "$\subset$": Sei $b\in I$ beliebig. Wir müssen $b\in (a)$, also $b=s\cdot a$ für ein $s\in R$ zeigen. Dazu berechnen wir die Division mit Rest von $b$ durch $a$ und erhalten $s, r\in\Z$ mit $b=s\cdot a+r$ ($0\le r<a$). Daraus folgt $r=\underbrace{b}_{\in I}-\,\underbrace{sa}_{\in I}\in I\,$ Da aber $r<a$ und $a$ die kleinste positive Zahl in $I$ war, muss $r=0$ sein, also $b=s\cdot a+0=s\cdot a\in (a),$ also $I=(a)$ und $\Z$ ist ein Hauptidealring. $\qed$