Primideal

Ein Primideal ist eine Teilmenge eines Ringes, die viele Eigenschaften einer Primzahl hat.

Primideal eines kommutativen Ringes

Sei \(\displaystyle R\) ein kommutativer Ring mit 1 und \(\displaystyle \mathfrak{p} \subset R\) ein Ideal in \(\displaystyle R\). Man nennt \(\displaystyle \mathfrak{p}\) Primideal oder prim, wenn für alle \(\displaystyle x, y \in R\) gilt:
Aus \(\displaystyle xy \in \mathfrak{p}\) folgt \(\displaystyle x \in \mathfrak{p}\) oder \(\displaystyle y \in \mathfrak{p}\).
 
 

Äquivalente Definitionen

Ein Ideal \(\displaystyle \mathfrak{p}\subset R\) ist genau dann prim, wenn *der Faktorring \(\displaystyle R/\mathfrak{p}\) Integritätsring ist.
  • für alle Ideale \(\displaystyle \mathfrak a, \mathfrak b\subset R\) gilt: \(\displaystyle \mathfrak a, \mathfrak b\subset\mathfrak{p}\ \Rightarrow\ \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\quad \lor\quad \mathfrak{b}\subset\mathfrak{p}\) und \(\displaystyle \mathfrak{p}\neq R\)

Beispiele

Die Menge \(\displaystyle 2\mathbb{Z}\) der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring \(\displaystyle \mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
Die Menge \(\displaystyle 6\mathbb{Z}\) der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in \(\displaystyle \mathbb{Z}\), da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
Jedes maximale Ideal ist prim.

Eigenschaften

Ein Element \(\displaystyle p \in R\) ist genau dann ein Primelement, wenn das von \(\displaystyle p\) erzeugte Hauptideal \(\displaystyle (p)\) ein Primideal ist.
Enthält ein Primideal einen Durchschnitt \(\displaystyle \bigcap\limits \mathfrak{a}_i\) von Idealen, so enthält es auch ein \(\displaystyle \mathfrak{a}_i\).

Primideal eines nichtkommutativen Ringes

Sei \(\displaystyle R\) ein Ring mit 1 und \(\displaystyle \mathfrak{p} \subset R\) ein (beidseitiges) Ideal in \(\displaystyle R\). Man nennt \(\displaystyle \mathfrak{p}\) Primideal oder prim, wenn für alle \(\displaystyle x, y \in R\) gilt:
Wenn für alle \(\displaystyle r \in R\) gilt, dass \(\displaystyle xry \in \mathfrak{p}\) liegt, dann ist \(\displaystyle x \in \mathfrak{p}\) oder \(\displaystyle y \in \mathfrak{p}\).
Für einen kommutativen Ring stimmt diese Definition mit der obigen überein, für einen nichtkommutativen unterscheiden sie sich im allgemeinen.

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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