Primideal

Ein Primideal ist eine Teilmenge eines Ringes, die viele Eigenschaften einer Primzahl hat.

Primideal eines kommutativen Ringes

Sei RR ein kommutativer Ring mit 1 und p⊂R\mathfrak{p} \subset R ein Ideal in RR. Man nennt p\mathfrak{p} Primideal oder prim, wenn für alle x,y∈Rx, y \in R gilt:
Aus xy∈pxy \in \mathfrak{p} folgt x∈px \in \mathfrak{p} oder y∈py \in \mathfrak{p}.

Äquivalente Definitionen

Ein Ideal p⊂R\mathfrak{p}\subset R ist genau dann prim, wenn *der Faktorring R/pR/\mathfrak{p} Integritätsring ist.
  • für alle Ideale a,b⊂R\mathfrak a, \mathfrak b\subset R gilt: a,b⊂p ⇒ a⊂p∨b⊂p\mathfrak a, \mathfrak b\subset\mathfrak{p}\ \Rightarrow\ \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\quad \lor\quad \mathfrak{b}\subset\mathfrak{p} und p≠R\mathfrak{p}\neq R

Beispiele

Die Menge 2Z2\mathbb{Z} der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring Z\mathbb{Z} der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
Die Menge 6Z6\mathbb{Z} der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in Z\mathbb{Z}, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
Jedes maximale Ideal ist prim.

Eigenschaften

Ein Element p∈Rp \in R ist genau dann ein Primelement, wenn das von pp erzeugte Hauptideal (p)(p) ein Primideal ist.
Enthält ein Primideal einen Durchschnitt ⋂ai\bigcap\limits \mathfrak{a}_i von Idealen, so enthält es auch ein ai\mathfrak{a}_i.

Primideal eines nichtkommutativen Ringes

Sei RR ein Ring mit 1 und p⊂R\mathfrak{p} \subset R ein (beidseitiges) Ideal in RR. Man nennt p\mathfrak{p} Primideal oder prim, wenn für alle x,y∈Rx, y \in R gilt:
Wenn für alle r∈Rr \in R gilt, dass xry∈pxry \in \mathfrak{p} liegt, dann ist x∈px \in \mathfrak{p} oder y∈py \in \mathfrak{p}.
Für einen kommutativen Ring stimmt diese Definition mit der obigen überein, für einen nichtkommutativen unterscheiden sie sich im allgemeinen.
 
 

Wie ist es möglich, daß die Mathematik, letztlich doch ein Produkt menschlichen Denkens unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?

Albert Einstein

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