Primzahlen

Besitzt eine positive natürliche Zahl nn nur die beiden trivialen Teiler 11 und sich selbst (nn), dann heißt nn eine Primzahl oder kurz prim.
Dabei soll 11 vereinbahrungsgemäß keine Primzahl sein.
Die Reihe der Primzahlen beginnt also mit: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29...
22 ist die einzige gerade Primzahl, da jeder gerade Zahl größer 22 durch 22 teilbar ist.

Satz 5303B (Unendlichkeit der Primzahlen)

Die Menge der Primzahlen ist unendlich. Damit kann es insbesondere keine größte Primzahl geben.
 
 

Beweis

Nehmen wir an, es gibt nur endlich viele Primzahlen p1,p2,…,pnp_1,p_2,\ldots,p_n. Dann bilden wir die Zahl p=p1⋅p2⋅…⋅pnp=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_n. Wegen der angenommenen Endlichkeit der Primzahlen hat p−1p-1 einen der obigen Primteiler pkp_k und damit mit pp wenigstens einen Primteiler (nämlich pkp_k) gemeinsam. Dieser muss dann auch die Differenz p−(p−1)=1p-(p-1)=1 teilen, was ein offensichtlicher Widerspruch ist. □\qed
Dieser Beweis geht auf Eduard Kummer zurück und ist der wohl kürzest mögliche.

Satz 5303G (Lemma von Euklid)

Teilt eine Primzahl pp ein Produkt zweier natürlicher Zahlen mm und nn, dann teilt sie wenigstens einen Faktor. Formal:
pp prim ∧p∣mn  ⟹  p∣m∨p∣n\and p|mn\implies p|m \or p|n

Beweis

Wir nehmen an, dass p∣mnp|mn und ¬p∣m\not p|m; wir zeigen, dass dann p∣np|n gelten muss. Wenn pp kein Teiler von mm ist, gilt ggT⁡(m,p)=1\ggT(m,p)=1 und nach Satz 5303H ist dann offenbar p∣np|n. □\qed

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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